非常好的排列与组合讲义(教师版、含解析)

张老师数学课堂PAGEPAGE4eq\a\vs4\al(第二节排列与组合)1．排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(m，n∈N*，m≤n)．(3)排列数的性质Aeq\o\al(n,n)＝n！；Aeq\o\al(0,n)＝1；0！＝1.[探究]1.排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．2．组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(m，n∈N*，m≤n)．(3)组合数性质①Ceq\o\al(0,n)＝1；②Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；③Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).[探究]2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()A．123B．312C．Aeq\o\al(3,12) D．12＋11＋10解析：选C从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有Aeq\o\al(3,12)种不同的获奖情况．2．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20B．9C．Ceq\o\al(3,9) D．Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)解析：选B分两类，第一类在直线a上任取一点与直线b可确定Ceq\o\al(1,4)个平面；第二类在直线b上任取一点与直线a可确定Ceq\o\al(1,5)个平面．故可确定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9个不同的平面．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种B．112种C．20种 D．56种解析：选B不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112种．4．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种．解析：(间接法)共有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34种不同的选法．答案：345．如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有________种．解析：M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有Ceq\o\al(3,6)＝20种方法，减去不合题意的4种．则不同的方法有16种．答案：16[例1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有Aeq\o\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有Aeq\o\al(3,5)种排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5种排法；再安排其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720种排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600种排法．本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720种．解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；方法；第二类有序均匀分组有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)种方法．故共有Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,4)C\o\al(1,1)A\o\al(2,2)＋\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·A\o\al(2,2)))＝84种．3点注意——求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决．分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏.创新交汇——几何图形中的排列组合问题1．排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题．2．解答此类问题应注意以下问题：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决；(3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验．[典例](2011·湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．[解析](1)当n＝6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有Ceq\o\al(2,5)＝10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有Ceq\o\al(3,4)＝4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案．(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26－21＝43种．[答案]2143(2012·安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A．1或3B．1或4C．2或3 D．2或4解析：选D不妨设6位同学分别为A，B，C，D，E，F，列举交换纪念品的所有情况为AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有15种．因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种．第一类，某人少交换2次，如DF，EF没有交换，则A，B，C交换5次，D，E交换4次，F交换3次；第二类，4人少交换1次，如CD，EF没有交换，则A，B交换5次，C，D，E，F交换4次．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3！B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!解析：选C利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.2．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种 D．8种解析：选A先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种安排方案．3．在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种 D．144种解析：选C当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有Aeq\o\al(3,3)种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝96种编排方法．ABCD4.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()A．192种B．128种C．96种 D．12种解析：选C可分三步：第一步，填A、B方格的数字，填入A方格的数字大于B方格中的数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B只能填入1或2，若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，填方格C的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格D的数字，有4种不同的填法．由分步计数原理得，不同的填法总数为6×4×4＝96.5．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种 D．30种解析：选C分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．6．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472 D．484解析：选C若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64种，若2张同色，则有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192种，剩余2张同色，则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．7．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．解析：由题意知按投资城市的个数分两类：①投资3个城市即Aeq\o\al(3,4)种．②投资2个城市即Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)种，共有不同的投资方案种数是Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60.答案：608．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有Ceq\o\al(2,5)种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有Ceq\o\al(2,4)种，最后，安排其他两辆车共有Aeq\o\al(2,2)种方法，故不同的调度方法为Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝120种．9．(2013·宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________(用数字作答)．解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法．(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有Aeq\o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法．综合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180种参加方法．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)种测试方法，再排余下4件的测试位置，有Aeq\o\al(4,4)种测试方法．所以共有不同的测试方法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法Aeq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,4)＝576种．11．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的七位数有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760个．12.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，此时有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有Aeq\o\al(3,3)＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．1．甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．解析：当每个台阶上各站1人时有Aeq\o\al(3,3)Ce