棱柱、棱锥、棱台复习课

棱柱、棱锥、棱台复习课董建钢教学目标般棱台、正棱台)的有关概念；理解并把握棱柱、棱锥的一般性质，把握正棱柱、正棱锥、正棱台(尤其是正方体、正四周体)的性质；柱、棱锥、棱台中侧棱、高、斜高、侧棱与底面、侧棱与侧棱、侧面与底面所成角的有关计算；把握棱柱、棱锥、棱台的侧面积与全面积的计算；会解决棱柱、棱锥、棱台的对角面和平行于底面的截面等有关问题，能娴熟的解决其各种有关计算.教学重点和难点体几何的有关计算转化为平面几何图形中的有关计算.教学设计过程一、复习提问(用投影仪出示以下命题)例1 答复以下命题中条件是结论的什么条件(要求用充分非必要、必要非充分、充要条件作答)(1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.(3)底面是正多边形的棱台是正棱台.(4较差的学生作答)讲评.必要非充分条件.因这两个侧面可以是相对的两个侧面.(2)必要非充分条件.因正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分条件.因正棱台的侧面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分条件.因棱台的各条侧棱相交于一点.例2 集合A=｛斜棱柱｝，B=｛直棱柱｝，C=｛正棱柱｝，D=｛长方体｝.下面命题中正确的选项是( ).CBD (B)A∪C=｛棱柱｝ (C)C∩D=｛正棱柱｝ (D)BD(该例题重点是检查学生对所涉及到的这几个集合与集合中元素的理解与生疏，所以在分析问题时只要用韦恩图把这几个集合间的关系清楚地表示出来即可找到正确的答案C，如图1)二、应用举例例3 一个斜三棱柱ABC-ABC的底面是边长为5的正三角形侧棱长为4.假设其中一侧棱与111底面三角形的两边都成45°角，求这个三棱柱的侧面积.师:请学生们答复在求棱柱的侧面积时，我们首先想什么?生:外形.(即是什么样的棱柱，是直棱柱还是斜棱柱)师:考虑完外形后干什么?S侧=C·L(其中Cl假设是斜棱柱，利用公式S求各侧面面积之和.

=C·L(C是直截面的周长，l直 直师:下面我们依据上述两种方法分别计算这个棱柱的侧面积.3AH⊥平面ABCH.1由于∠AAB=∠AAC，易证点H∠BACΔABC是正三角形.所以AH⊥BC.由三1 1垂线定理有BC⊥AA，又AA∥BB，因此BC⊥BB.故侧面BBCC是矩形.1 1 1 1 1 1所以 S=2×5×4sin45°+5×4=20 +20.4BE⊥A1A于点ECE.则易证ΔABE≌ΔACE.所以CE⊥AA.所以AA⊥1 1截面BCBCE.BE=CE=+20.

.所以所求侧面积为S=C ·AA=20侧 ΔBCE 1例4 正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为60°，求它的高、侧棱长及相邻两侧面所成的二面角大小.师:正三棱锥有什么特征.生:顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即内心、外心、重心、垂心)锥的底面中心.解:如图.设点O为顶点在底面上的射影.因该棱锥为正三棱锥，所以O为底面正三角形的中心.连接SO、CO并延长COABD，连接SD，则CD⊥ABD，SD⊥ABD.(三垂线定理)所以∠SDC是侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，即∠SDO=60°.由于 ΔABC是正三角形，且AB=a.因此 CD= a,CO= A.故 SO=OD·tg60°=a.SC= = a.BE⊥SCE，连接AE，明显ΔACE≌ΔBCE，有AE⊥SC，故∠AEB是三棱锥S-ABC侧面所成二面角的平面角.由于 SD= = a,BE·CS=SD·AB，因此 BE=AE= ，所以 cos∠AEB= .所以该三棱锥S-ABC的高为，侧棱长为 a，相邻两侧面所成的二面角为arccos.面所成的二面角60°)侧棱、侧棱在底面上的射影所组成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所组成的直角三角形、沟通了正棱锥的高、侧棱、斜高、底面的边长之间的关系，从而也沟通了立体图形向平面图形转化的桥梁，表达了化归与转化的根本思想.例5 正三棱台ABCABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.师；正111-棱台是什么样的图形?它是怎样形成的?由正棱锥被平行于底面的截面截得的.师:通过上面的分析，解决该问题通常有两种方法.其一是从图形特征来解.(见解法一)其二是由锥、台之间的关系来解!称之为“还台为锥”.7OOOO，AOABDAOAB1 1 11 11 1DDDAO⊥BC，AD⊥BC，DD⊥BC，过A，D分别作AE⊥底面ABC，DF⊥底1 11 11 1 1 1 1 1ABC，易证E、FAD由于正三棱台ABCABC45°的二面角，所以∠DDA=45°.111- 1因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,则AD= b,A1D1= a.所以 AE=OO=DF=FD=× b-× a= (b-a).1 1 1AE=× B-× a= (b-a).所以 tg∠AAE= =.18，延长AABB，CCAABBCC相交于一点S.明显点SDD1 1 1 1 1 1 1线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A∠SDA=45°.所以 在RtΔSOD中，SO=OD，由于 AO=2·OD，所以 tg∠SAO= = =.讲评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质解决棱台问题时是一种快捷便利的方法.三、课堂练习练习1 正三棱锥的高为h，侧面与底面成60°的二面角，求它们全面积.9V-ABCVOVAVOABCADVBCVD.OAD⊥BC.因此由三垂线定理得VD⊥BC.故∠VDA就是侧面与底面所成角的二面角的平面角，即∠VDA=60°.所以在RtΔVOD中，有OD=VO·ctg60°= h,VD=2·DO= h.又在RtΔABD中，有AD=3·OD= 3h，AB=AD·CSC60°=2h，所以 S=S+S=AB·sin60°+ (3·AB)·VD= (2h)× +×6h×全 底 侧h=3 h.讲评:抓住Oh，α(侧面与底面所成的二面角)通过解直角三角形求出其它元素，最终代入面积公式进展计算.练习2 正三棱锥V-ABC的底面边长和高都是4，它的内接正三棱柱的侧面是正方形求棱柱上底面ABC截棱锥所得的三棱台ABC-AB的面积略解:如图10设棱长为x,则OO=x，111 11 1AO= x.11AO∶AO=VO∶VO，所以x=2.11 1因此棱台的斜高为 ，上底面边长为2，所以=3× (2+4)× =78.四、小结棱锥中特征直角三角形的利用.它们是将空间中的问题转化为平面图形问题的桥梁.关于棱棱台中特征直角三角形和直角梯形.它们是联系关系式中未知量与题目中所给几何图形中的元素间关系的纽带.五、作业斜三棱柱ABC-ABCAB=AC=10cm，BC=12cm,AA，B，CAA=13cm,111 1 1求斜三棱柱的全面积.如图11，正四棱锥的棱长均为a，(I)求侧面与底面所成角的大小；(Ⅱ)求相邻两侧面所成二面角的余弦值.如图12，棱台上、下底面面积为a2,b2,过高的两个三等分点作平行于底面的两个截面，求两个截面面积.13，正三棱锥V-ABC4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积.课堂教学设计说明括了柱、锥、台的性质，同时也包含了第一章学过的全部学问.因