概率论与数理统计第二章答案及概率论与数理统计第四章测试题

PAGEPAGE1第二章随机变量及其分布1、解： 设公司赔付金额为，则X的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律为：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为也可列为下表X：3，4，5P：3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。PPx12Ox12O再列为下表X：0，1，2P：4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q=1－p(0<p<1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）P(X=k)=qk－1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}其中q=1－p，或记r+n=k，则P{Y=k}=（3）P(X=k)=(0.55)k－10.45 k=1,2…P(X取偶数)=5、一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值为1，2，3，…，n，…P{X=n}=P{前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}=，n=1，2，……（2）Y的可能取值为1，2，3P{Y=1}=P{第1次飞了出去}=P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}=P{Y=3}=P{第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}=同上，故6、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？7、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率解：设X为A发生的次数。则n=5，7B:“指示等发出信号“①②8、甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6,0.7，令各投三次。求（1）二人投中次数相等的概率。记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3×(0.3)3+[（2）甲比乙投中次数多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=9、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从）（1）P{X=0}=0.910≈0.349（2）P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=（3）P{Y=0}=0.95≈0.590（4）P{0<X≤2，Y=0} ({0<X≤2}与{Y=2}独立)=P{0<X≤2}P{Y=0}=0.581×0.5900.343（5）P{X=0}+P{0<X≤2，Y=0}≈0.349+0.343=0.69210、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）解：（1）P(一次成功)=（2）P(连续试验10次，成功3次)=。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。11.尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的。但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布。求明年没有此类文章的概率。 解：12.一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率。 （1）（2）13.某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率。（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。解：①②14、解：（1）、分钟时小时，（2）、故（小时）所以（分钟）15、解：16、解：17、解：设服从分布，其分布率为，求的分布函数，并作出其图形。解一：01的分布函数为：18．在区间上任意投掷一个质点，以表示这个质点的坐标。设这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求的分布函数。解：①当时。是不可能事件，②当时，而是必然事件则③当时，是必然事件，有19、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}解：（1）P{至多3分钟}=P{X≤3}=（2）P{至少4分钟}P(X≥4)=（3）P{3分钟至4分钟之间}=P{3<X≤4}=（4）P{至多3分钟或至少4分钟}=P{至多3分钟}+P{至少4分钟}=（5）P{恰好2.5分钟}=P(X=2.5)=020、设随机变量X的分布函数为，求（1）P(X<2),P{0<X≤3},P(2<X<)；（2）求概率密度fX(x).解：（1）P(X≤2)=FX(2)=ln2，P(0<X≤3)=FX(3)－FX(0)=1，（2）21、设随机变量的概率密度为（1）（2）求X的分布函数F(x)，并作出（2）中的f(x)与F(x)的图形。解：（1）当－1≤x≤1时：当1<x时：故分布函数为：解：（2）故分布函数为（2）中的f(x)与F(x)的图形如下x120f(x)10F(x)2xx120f(x)10F(x)2x22、⑴由统计物理学知，分子运动速度的绝对值服从迈克斯韦尔(Maxwell)分布，其概率密度为其中，为Boltzmann常数，为绝对温度，是分子的质量。试确定常数。解:①即 ②当时，当时， 或23、某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此25、设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率∵ K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。解不等式，得K≥2时，方程有实根。∴ 26、设X～N（3.22）（1）求P(2<X≤5)，P(－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P(X>3)∵ 若X～N（μ，σ2），则P(α<X≤β)=φφ∴ P(2<X≤5)=φφ=φ(1)－φ(－0.5)=0.8413－0.3085=0.5328 P(－4<X≤10)=φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)=0.9998－0.0002=0.9996P(|X|>2)=1－P(|X|<2)=1－P(－2<P<2)= =1－φ(－0.5)+φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5（2）决定C使得P(X>C)=P(X≤C)∵ P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得 P(X≤C)==0.5又 P(X≤C)=φ ∴C=327、某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求（1）P(X≤105)，P(100<X≤120). （2）确定最小的X使P(X>x)≤0.05.解:28、由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为X P{X不属于(10.05－0.12,10.05+0.12)=1－P(10.05－0.12<X<10.05+0.12)=1－=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045629、一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P(120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵P(120＜X≤200)=又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)∴上式变为解出再查表，得30、解：31、解：32、解：所以为概率密度函数33、设随机变量X的分布律为：X：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2P： 再把X2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：∴Y：0 1 4 9P： 34、设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度∵X的分布密度为： Y=g(X)=eX是单调增函数又 X=h(Y)=lnY，反函数存在且 α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1max[g(0),g(1)]=max(1,e)=e∴Y的分布密度为：（2）求Y=－2lnX的概率密度。∵ Y=g(X)=－2lnX 是单调减函数又 反函数存在。且 α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0β=max[g(0),g(1)]=max(+∞,0)=+∞∴Y的分布密度为：35、设X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵X的概率密度是 Y=g(X)=eX 是单调增函数又 X=h(Y)=lnY反函数存在且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度为：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY（y），则 FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)=当y<1时：FY(y)=0当y≥1时：故Y的分布密度ψ(y)是：当y≤1时：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0当y>1时，ψ(y)=[FY(y)]'==（3）求Y=|X|的概率密度。∵ Y的分布函数为FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)当y<0时，FY(y)=0当y≥0时，FY(y)=P(|X|≤y)=P(－y≤X≤y)=∴Y的概率密度为：当y≤0时：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0当y>0时：ψ(y)=[FY(y)]'=36、（1）设随机变量X的概率密度为f(x)，求Y=X3的概率密度。∵ Y=g(X)=X3 是X单调增函数，又 X=h(Y)=，反函数存在，且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度为：ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X2的概率密度。xOy=x2y法一：∵X的分布密度为：xOy=x2yY=x2是非单调函数当x<0时y=x2反函数是当x<0时y=x2∴Y～fY(y)=－=法二：∴Y～fY(y)=37、设X的概率密度为求Y=sinX的概率密度。∵ FY(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)当y<0时：FY(y)=0当0≤y≤1时：FY(y)=P(sinX≤y)=P(0≤X≤arcsiny或π－arcsiny≤X≤π)=当1<y时：FY(y)=1∴Y的概率密度ψ(y)为：y≤0时，ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=00<y<1时，ψ(y)=[FY(y)]'==1≤y时，ψ(y)=[FY(y)]'==038、设电流是一个随机变量，它均匀分布在9安11安之间。若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗求的概率密度。解：在上服从均匀分布的概率密度为：的取值为分布函数39、某物体的温度T(oF)是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知]法一：∵T的概率密度为又是单调增函数。反函数存在。且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(－∞,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(－∞,+∞)=+∞∴ θ的概率密度ψ(θ)为法二：根据定理：若X～N（α1，σ1），则Y=aX+b～N(aα1+b,a2σ2)由于T～N（98.6,2）故故θ的概率密度为：第4章随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)442．若随机变量和的协方差，则以下结论正确的是（）(A)与相互独立(B)D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY(D)D(XY)=DXDY3．设随机变量和相互独立，且，则（）(A)(B)(C)(D)4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充要条件为(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)25．设、是两个相互独立的随机变量且都服从于，则的数学期望（）(A)(B)0(C)(D)6．设、是相互独立且在上服从于均匀分布的随机变量，则（）(A)(B)(C)(D)7．设随机变量和的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y（）(A)不相关的充分条件，但不是必要条件(B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件(D)独立的充分必要条件8．若离散型随机变量的分布列为，则（）(A)2(B)0(C)ln2(D)不存在9．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A）－1（B）0（C）（D）110．设随机变量X和Y独立同分布，具有方差>0，则随机变量U=X+Y和V=X-Y（A）独立(B)不独立（C）相关(D)不相关11．随机变量X的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C，必有。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2（B）E(X-C)2=E(X-)2（C）E(X-C)2<E(X-)2（D）E(X-C)2E(X-)212．设X~U(a,b),E(X)=3,D(X)=,则P(1<X<3)=（）（A）0（B）（C）（D）二、填空题1．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则2．设一次试验成功的概率为，进行了100次独立重复试验，当时，成功的次数的标准差注意是标准差还是方差！的值最大，其最大值为注意是标准差还是方差！3．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量，则的方差是方差不是期望！DY=是方差不是期望！4．，，，则，5．设随机变量服从于参数为的泊松分布，且已知，则6．设(X,Y)的概率分布为：YX-10100.070.180.1510.080.320.2则＝E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不独立！E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不独立！7．已知,则E(X)=。8．X~N（，2），Y~N（，2），X与Y相互独立,则Cov(X+Y,X-Y)=________。9．随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3,则E(X)=___________，D(X)＝。10．设ρXY=0.9，Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为。11．设随机变量Xij独立同分布，EXij=2，则行列式的数学期望EY=。三、简答题1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2好的基础题！．已知随机变量服从二维正态分布，且与分别服从正态分布与，它们的相关系数，令，⑴求的数学期望与方差好的基础题！(2)求与的相关系数。3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周