2021年九年级中考数学专项复习-二次函数的图像与性质

2021年中考数学专项复习——二次函数的图像与性质一、单选题1．已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线2．已知抛物线经过点，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A． B． C． D．3．关于抛物线，下列说法中，正确的是（）A．经过坐标原点 B．顶点是坐标原点 C．有最高点 D．对称轴是直线4．下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A． B．C． D．5．抛物线的顶点总在（）A．第一象限 B．第二象限 C．直线上 D．直线上6．在下列对抛物线的描述中，正确的是（）A．开口向上 B．顶点在轴上C．对称轴是直线 D．与轴的交点是7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列结论：①2a﹣b＝0；②（a+c）2＜b2；③当﹣1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣2．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．已知二次函数图象如图所示，设，则关于M值的正负判断正确的是（）A．M<0 B．M=0 C．M>0 D．不能确定9．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（）A． B．或C． D．或二、填空题11．如果抛物线与形状相同，开口方向也相同，那么______．12．抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）13．已知抛物线经过点和，比较与的大小：_____________（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．14．二次函数图像上的最低点的横坐标为_________________．15．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在轴左侧的部分，图像上升，在轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．16．将抛物线向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为_________．17．已知点，在抛物线（c为常数）上，则____（填“>”、“=”或“<”）18．如图，已知二次函数的图像经过点，那么__________．（填“”、“”或“”）19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a是常数，且a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为_____．20．二次函数（、、为常数，）中的与的部分对应值如下表：02当时，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①；②当时，的值随值的增大而增大；③当时，关于的一元二次方程的解是，；④一元二次方程有两个相等的实根，则．三、解答题21．二次函数的图象的一部分如图，已知的顶点在第二象限，且经过点和点．（1）请判断实数的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与轴的另一个交点为，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求的值．22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点D的坐标为，过D作y轴垂线与抛物线相交于点，（点P在点Q的左侧），与直线相交于点．（1）在同一坐标系内画出抛物线与直线BC的草图；（2）当时，比较，，的大小关系；（3）若，求的取值范围．23．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）当0≤x≤3时，写出函数值y的取值范围；（4）若方程有一正一负两个不相等的实数根，求k取值范围．24．已知抛物线经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B．求：（1）抛物线的解析式；（2）△AOB的面积；25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．26．已知一个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点、在这个二次函数图像上，且，那么_____．（填“<”或者“>”）27．我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数的大致图像如图所示．

（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．28．如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点．（1）求直线的表达式：（2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）．①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围；②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．29．已知抛物线经过，两点，抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，联结、．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点在线段上，当时，求点的坐标；（3）点在对称轴上，点在抛物线上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．30．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线所在的直线交于点交于点．（1）求证：；（2）设，△AMF的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）随着点在射线上运动，NA·MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA·MC的值；若变化，请说明理由．答案1．A2．B3．A4．D5．C6．B7．B8．A9．C10．D11．312．上升13．14．15．（答案不唯一）16．17．18．19．20．①③④21．解：（1）由图象可知：，所以图象过点，所以，图象过点，则所以解得所以，实数的取值范围为；（2）此时函数，点纵坐标为：，图象与轴交点坐标为：，解得；，，则，要使可求得．22．、解：（1）当y＝0时，有2x2-8x+6＝0，解得：x＝1或x＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝2x2-8x+6＝6，∴点C的坐标为（0，6）．画出草图如图1所示．（2）由图1可知，当2＜m＜4时，x1＜x3＜x2．（3）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6，∴抛物线的顶点坐标为（2，-2）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝-2x+6．由图2可知，若x1＜x2＜x3，则-2＜m＜0，∴3＜x3＜4．∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴x1+x2＝2×2＝4，∴7＜x1+x2+x3＜8．23．解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（-1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c=0的两个根为-1和3；（2）由图象可知当-1＜x＜3时，函数图象在x轴下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为-1＜x＜3；（3）当0≤x≤3时，由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值为-4，最大值为0，∴函数值y的取值范围是：-4≤y≤0；（4）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值为-4，∵当x=0时，y=-3，∴若方程有一正一负两个不相等的实数根，k的取值范围是：k＞-3．24．解：（1）由题得：O（0，0）代入，则n＝-1，∴抛物线解析式为：y＝x2-4x；（2）y＝x2-4x＝（x-2）2-4，令y=0，则x=0或4，∴顶点B的坐标（2，-4），点A的坐标（4，0），∴△AOB的面积是：×4×4＝8．25．解：（1）将，代入抛物线，解得：，∴抛物线为，令x=0，得y=4，故．（2）过作交延长线于，因为，，∴△EAD~△OAC，∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，∴，∴，，EC=6，∴．（3）设，连接DP、AP，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得∴．26．解：（1）设二次函数的表达式为，已知二次函数经过A、B、C三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，，可得，则这个函数的解析式为，其对称轴为直线；（2），抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，x<1时，y随x的增大而增大，又本题，．故答案为：<．27．（1）对称轴：直线，最高点/顶点，开口方向：向下，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；（2）不可以，加上“”，设，代入得，∴．28．解：（1）将y=0代入中，解得：x=-4；将x=0代入中，解得：y=4∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）∵点C是线段的中点∴点C的坐标为（0，2）设直线AC的解析式为y=kx＋d将点A和点C的坐标分别代入，得解得：∴直线AC的解析式为；（2）①将点C的坐标代入中，得∴抛物线解析式为由题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，∴∴∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线∵其顶点位于线段上（不含端点O、A）∴-4＜＜0解得：0＜＜1；②能，如下图所示，连接DC