三角函数的图像和性质教师版

讲义编号： 编号 级 课时数姓名：辅导科目：数 学科教师：课题课型□预习 □同步□课920172月5—1ysinx,ycosx,ytanx,交点等）；理解正切函数在区间 3yAsinxyAsinxA,,对函数图像变化的影响.41yAsinx教学内容名称ysinxrycosxrytanx值域 : 间:2k,2kkZ 22k,2kkZ ：单 : 间:k,kkZ 2 2k,2k3kZ 22k,2kkZ对对称中心:k0k对称轴:xk ,k2对称中心:k0k 对称轴:xkk对称中心:k0kx2k,k 2 1；x2k3,k yminx2kkZymax1最值x2k,k 无yminycosxysinx2yAsinx,A0,01.yAsinx的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx，由t取0、32 xyxπ2ω2ω0π2π20A00yAsinx,A0,0ysinx的图象按下列顺序变换得到①相位变换:ysinx的图象上所有点向左0或向右01②周期变换:把所有各点的横坐标缩短1或伸长01倍（纵坐标不变1③振幅变换:把所有各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)A倍（横坐标不变ysinxyAsinx的图象时要特别注意：当周期变换和相位x轴的伸缩量有区别。y＝sinxy＝Asin(ωx＋φ)yAsinx,A0,0定义域xR,值域:yA周期性:T

kkZ2kkZ时为奇函数2k2k

, ,kZ 2k2k3

, ,k k 对称性:对称中心 ,0,kZ k对称轴:x ,kZ. 2k最值:当x2k 即x ,kZ.时，y取最大值A 2k当x2k 即x ,kZ.时，y取最小值-A． yAsinx的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点,0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置 yAsinxA,x配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性

ππ ．最小正周期为2

T＝πB.

π

＋4

函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是

，－6

－6 解析：∵f(x)＝2sin－3

－6，2kπ6(k∈Z)x∈[－π，0] 已知y＝tan(2x＋φ)的图象过点π，0，则φ可以是

πCC

解析：∵y＝tan(2x＋φ)过点π

π π当k＝0时 若集合

解析：

M、N

5π{θ|6≤≤6N＝

5π

{θ|3≤≤6答案答案 |3≤≤6

由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤11sinx，y＝cosx的上确界，－1y＝sinx，y＝cosxf(x)的周期．数f(ωx＋φ)的周期．因为f(ωx＋φ)＝fωx＋T＋φ，即自变量由x增加到

1.求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝方法一：利用余弦函数的简图得知定义域为

∴OMx 方法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]y＝sinxy＝cosx在[0,2π]sinx＝cosx

为44 所以定义域为x|4＋2kπ≤x4 MN为正弦线，OM为余弦线，sinx≥cosxMN≥OM， 则4≤x4(在[0,2π]内 x|4＋2kπ≤x≤4 方法三：sinx－cosx＝2sin将 －4y＝sinx解得 ＋4≤≤4 所以定义域为x|2kπ＋4≤x4 变式探究 求下列函数的定义域(2)y＝2kπ＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)，所以函数定义域为(2)使解析式有意义的x满足 解 π 得 2或－222

故函数的定义域为

，－2∪－2，2∪22.求下列函数的值域：(2)y＝3cosx－3sinx；解析 2cosx＝1 故函数值域为(2)y＝3cosx－3sinx＝23 2 ＝23cos ∵|cos∴该函数值域为[－23，2

2，且|t|≤ 1 ＝2(t－1)＋t＝2(t＋1)t＝－12t＝2时，ymax＝2 ∴该函数值域为 ，2＋变式探究 求下列函数的值域y

＝sinx－2cosx≠0sinx≠±1，∴函数的值域为∴函数的值域为

2 2＝sinx－2 ≤ ≤∴函数的值域为 1 y＝sinx－2sinx＝y－2

y－2≤1∴函数的值域为

解析：(1)由cos2x≠0得 解得 ≠2 当

≠22＋4，k∈Z

＝3cos

∴T＝2＝π，∴f(x)变式探究 已知函数

g(x)＝f＋3g(x) 解析：(1)∵f(x)＝sin2＋ ＝12 sin2＋3＝－1时，f(x) sin2＋3＝1时，f(x) g(x)＝f ∴g(x)＝2sin2 y＝log12

π由

减区间是

uu＝sin2x＞0的增区间为kπ，kπ＋π，k∈Z；减区间为

2

12

增区间为 变式探究 求下列函数的单调区间 y＝2sin4－3 y＝－|sin 解析：(1)y＝2sin43 ＝－2sin3故由

－2≤3解得 9π—8 ＋8由

＋2≤3－4≤2kπ＋2解得

＋8≤x≤3kπ＋8

∴递减区间为 －8，3kπ＋8

递增区间为 ＋8

8

利用换元法求复合函数的单调区间(x系数的正负号y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再根据基本三角函数

(1)y＝sin 卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π<φ<π的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是

π

π

5 解析：本题通过观察图象获得三角函数的周期及最值点．由图象可知：2T＝12π－12π＝2，∴T＝π，即ωπ，∴ω＝2.由图象过点5

2(2)α∈2，πf(α)＝2α

1 ＝2

π

的最小正周期为2 (2)∵f(α)＝2

∵α∈2，π，∴4α＋4∈4

4 ＋4＝223．(2013·山东卷)f(x)＝2

，且.称轴的距离为.4(1)ω

(2)f(x)在区间2(1)f(x＝3－3sin2ωxsinωxcosωx＝3－3·1－cos2ωx1sin2ωx＝3cos2ωx1sin2ωx＝－ .∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.4 (2)由(1)f(x)＝－sin当

23≤－33 3∴－2

－3≤1，∴－1≤f(x)≤2 3

22 π＜x＜kπ π，k∈ π＜x＜kπ π，k∈ .x|kπ－4＜x＜kπ＋12 .x|kπ＜x＜kπ＋π，k∈ 解析：sin2x＋3cos2x－1＞0 sin即 ＋6＜2x＋3＜2kπ＋6 π

π

函数y＝sin＋6＋cos2x＋3的最小正周期和最大值分别为 B．π， D．2π， 解析：y＝sin

＝2 已知函数y＝tanωx在－2，2内是减函数，则 B1ω＜0 解析：由已知条件ω＜0，又π

f(x)＝tan4xf4＝tan

π A.

C.3，6

D.6

即 ＋2≤2x－6≤2kπ＋2解上式得 5π ＋6

，得36又 ，∴3≤

5以下三个命题：α∈R，在[α，α＋π]y＝sinxα∈Rα≠0，f(x＋α)＝－f(x)x∈Rf(x)为周期函数； x∈44其中正确命题的个数为 解析：对于①：∵[α，α＋π]y＝sinx∴y＝sinx在[α，α＋π]B. 已知函数 解析：sinx≥cosx时，f(x)＝cosx，sinx＜cosx时，f(x)＝sinx，图象如图实线表示，所以值域为－1， 2答案：－1， 2 其中一定成立的 解析：f(x)＝f(x＋2)T＝2f(x)x∈[－1,0]

Rf(x)f(x)πf(x)在[－π，π]上的函数简图；

求当 x的取值范围≥2

又当 ，－2时∴f(x)＝f(π因此先在[－π，0]上来研究 即

≤－2，∴－6≤ x∈－6π，kπ－6，k∈Z

f(x)＝2sin4＋x－ 若不等式|f(x)－m|＜2x∈4，2m解析