平面与立体相交

3.2平面与立体相交

截平面λ与立体各表面的交线称为截交线。截交线为一封闭的平面多边形，多边形各边是截平面与立体各表面的交线，多边形各顶点是立体棱线与截平面的交点。

平面体截交线的性质

截交线是截平面与立体表面的共有线。截交线是封闭的平面折线。一、平面与平面立体相交

截交线的作图方法：1、求出各棱线与截平面的交点并依次连线。（线面交点法）2、直接求出截平面与立体表面交线，首尾相接。（面面交线法）目前一页\总数七十九页\编于四点【例1】四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。321(4)3●2●4●1●3●2●4●1)空间分析：1●2)投影分析：3)求截交线4)补全棱线的投影检查:尤其注意检查截交线投影的相仿性SSS截平面与立体的几个棱面相交？截交线的形状？四边形采用线面交点法目前二页\总数七十九页\编于四点1"S"sa´aa"b´(c´)b"cc"PvQvS(3)223143"2"414"1)分析:截平面为正垂面和水平面，正面投影有积聚性；2)求出点1、2、3、4；3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见；4)补全轮廓线。

解题步骤:

【例2】

求P、Q

两平面与三棱锥截交线的投影。目前三页\总数七十九页\编于四点a"b"c"q'p'1'2'(3')1231"2"3"4'(5')454"5"作图步骤：①作水平截面Q与a's'’的交点1',又与正截面P交于2'（3'），并对应在as上求出1，且过1作底边ab及ac的平行线12和13，其侧面投影积聚成直线2"1"3"②作图步骤：②然后作正截面P与正垂面△BCS交出正垂线4'（5'），并对应在△bcs上求出45，在△b"c"s"上求出4"5"。在作截面P与△ABS及△ACS交出的截交线24、35及2"4"、3"5"。作图步骤：

③加粗可见轮廓线例题3求三棱锥正面投影被Q、P两面截切以后交线的三面投影。

1.平面与棱锥相交S"目前四页\总数七十九页\编于四点验证结果的正确性

例题4求作正五棱柱被截切后交线的三面投影图。目前五页\总数七十九页\编于四点验证结果的正确性

例5

求出立体被截切后的三面投影。目前六页\总数七十九页\编于四点

平面与曲面体相交，一般情况下，截交线是由平面曲线或平面曲线和直线所组成的封闭图形。截交线的形状取决于曲面体表面的形状和截平面与曲面体的相对位置。截交线是曲面体和截平面的共有点的集合。

二、平面与曲面立体相交

平面与曲面体相交，一般情况下，截交线是由曲线或曲线与直线所组成的封闭图形。

截交线是截平面与回转体表面的共有线。

截交线的形状取决于曲面体的形状和截平面与曲面体的相对位置。截交线是曲面体和截平面的共有点的集合。目前七页\总数七十九页\编于四点一）求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充中间点。

一）求平面与回转体的截交线的一般步骤目前八页\总数七十九页\编于四点矩形椭圆圆截交线的形状有几种？

1、平面与圆柱相交目前九页\总数七十九页\编于四点

平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。目前十页\总数七十九页\编于四点

〔例1〕完成圆柱体被切后的左视图。截交线的已知投影？●●●●●●●●●●●●★找特殊点★补充中间点★光滑连接各点★补全轮廓素线的投影截交线的侧面投影是什么形状？截交线的空间形状？目前十一页\总数七十九页\编于四点

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。45°什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。目前十二页\总数七十九页\编于四点1"2"3"4"解题步骤1分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。1'（2'3’（4'1(32(4

〔例2〕求圆柱体的截交线。目前十三页\总数七十九页\编于四点3'

(4')(3)(4)ⅢⅣⅠⅡ12

〔例3〕由空心缺口圆柱的正面投影和水平投影，作出被切后的侧面投影。1'

(2')目前十四页\总数七十九页\编于四点虚实分界点

〔例4〕求左视图。目前十五页\总数七十九页\编于四点

〔例5〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影a'b'a"(b")abAB目前十六页\总数七十九页\编于四点圆椭圆三角形双曲线抛物线截交线的形状有几种？

2、平面与圆锥相交目前十七页\总数七十九页\编于四点过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α目前十八页\总数七十九页\编于四点θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线双曲线

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。ααθαθαθ目前十九页\总数七十九页\编于四点

截交线为椭圆椭圆画法是什么点？椭圆短轴的投影截交线投影分析特殊点中间点光滑连接曲线交线可见性PP截交线投影仍为椭圆检查外形轮廓线投影外形轮廓线投影终止点截交线投影虚实分界点截交线分析

求正垂面截切圆锥的投影。目前二十页\总数七十九页\编于四点PQⅠⅡ1'(2')121"2"ⅦⅥⅤⅣⅢ7'77"5'(6')5"6"653'(4')343"4"

〔例1〕求作圆锥被Q与P平面截切的截交线投影qp目前二十一页\总数七十九页\编于四点1"11'232'3'2"(3")4"(5")454'5'

〔例2〕

求作圆锥被截切以后，截交线的投影目前二十二页\总数七十九页\编于四点圆

3、平面与球相交目前二十三页\总数七十九页\编于四点圆球的截交线总是圆。

由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。目前二十四页\总数七十九页\编于四点例题：求圆球被截切后的水平和侧面投影2求中间点：3依次平滑连接各点；4整理投影图1求特殊点：分析：截交线的正面投影为直线，其余两投影为椭圆，可利用球面上作点的方法作出椭圆上的点。目前二十五页\总数七十九页\编于四点平面与圆球面相交其截交线均为圆P面交线的H投影为圆弧曲线投影分析Q面交线的W投影为圆弧曲线PQ目前二十六页\总数七十九页\编于四点211'(2')2"1"

〔例5〕

作出半圆球被切口以后交线的投影目前二十七页\总数七十九页\编于四点综合举例求作水平投影p'q'p"q"双曲线PQ求与大圆柱面的交线求与小圆柱面的交线求与圆锥面的交线加深先形体后交线目前二十八页\总数七十九页\编于四点

有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线的分界点必在组合体的分界线上。因此，作组合截切时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界线，然后分别作出各自的截交线。四、立体组合截切

〔例7〕

求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的投影PQ(10")3'3(5')1'5"1"3"152'(4')2"4"24(6')10'(6")1068'8"8(7')9'9"7"97目前二十九页\总数七十九页\编于四点3"2"1'2'(3')4'(5')231455"4"1"

〔例8〕

完成组合立体被截切后的投影目前三十页\总数七十九页\编于四点作业26页5.1—1、6、8、1028页5.2—1、3、4、5、12、13、16、18目前三十一页\总数七十九页\编于四点3.3立体与立体相交

两基本立体表面相交称为相贯，参与相交的立体称为相贯体；其表面交线称为相贯线，它是两立体表面的共有线，求两立体表面相贯线的投影，实质上就是求出相贯线上一系列共有点的投影（完成相贯线的三面投影）。

相贯线的求作步骤分为空间分析和投影作图两大步骤。3.3.1

相贯线的性质和求法目前三十二页\总数七十九页\编于四点

相贯线的性质及求相贯线的方法

1．相贯线的性质

相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。

2．相贯线的形状一般是封闭的空间折线或空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。

3求相贯线的方法

找出两相贯体表面上若干共有点的投影。先找出关键点的投影，不同的立体、不同的位置找点的方法不尽相同。有积聚性的表面可直接利用积聚性找点，没有积聚性的，平面体可用棱线法找点，曲面体则常用素线法、纬圆法、辅助平面法等。做出点的投影后依次连接并判断可见性。

4．判别相贯线可见性的原则

只有位于两形体都可见的侧面上的交线是可见的。目前三十三页\总数七十九页\编于四点立体相贯的分类平面立体与平面立体相贯平面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯目前三十四页\总数七十九页\编于四点平面与平面立体相贯平面与曲面立体相贯平面与平面立体相贯立体相贯在建筑形体中的应用目前三十五页\总数七十九页\编于四点目前三十六页\总数七十九页\编于四点目前三十七页\总数七十九页\编于四点3.3.2平面立体相交全贯（两根相贯线）互贯（一根相贯线）目前三十八页\总数七十九页\编于四点被遮挡的轮廓线为虚线，贯穿到立体内部的轮廓线不再存在，徐擦除。（依次求出每个立体的棱线与另一个立体棱面的交点的投影）目前三十九页\总数七十九页\编于四点1234561"1'4'5'4"(5")6"（6‘）Ph2'3'Pw2"(3")

例题1

求四棱锥与三棱柱的相贯线1、三棱柱与四棱锥共有6个交点，相贯线是由6个交点构成的封闭空间折线。2、三棱柱在俯视图中有积聚性。3、三棱柱后面在W面有积聚性。分析：作图步骤1、求贯穿点2、依次连线3、判断可见性4、整理轮廓线补全视图。4、相贯线是由6个交点构成的封闭空间折线框。目前四十页\总数七十九页\编于四点1234561"1'4'5'4"(5")6"6'2'3'2"(3")

例题1求三棱柱与四棱锥的相贯线目前四十一页\总数七十九页\编于四点1'(2')3'(4')5'(6')7'(8')Pv12341"(3")2"(4")Qv56785"(7")6"(8")9'10'9"10"910

例题2求三棱柱与四棱锥的相贯线目前四十二页\总数七十九页\编于四点1'(2')3'(4')5'(6')7'(8')131"(3")2"(4")576"(8")9'10'9"10"95"(7")426810

例题2

求三棱锥与四棱柱的相贯线目前四十三页\总数七十九页\编于四点思考题（2）如果三棱锥与三棱柱相贯，相贯线将如何变化？目前四十四页\总数七十九页\编于四点思考题（3）如果在三棱锥上钻一个三棱孔，相贯线又将如何变化？？！目前四十五页\总数七十九页\编于四点3.3.3平面体与回转体相交平面立体与曲面立体相贯线的求法

依次求出平面立体上参与相交的各棱面与曲面立体表面的截交线，这些截交线即围成所求平面立体与曲面立体相贯线。

相贯线上的转折点是平面立体上参与相交的棱线与曲面立体的贯穿点。

一般情况下相贯线是有若干段平面曲线（或直线）组成的封闭线框。目前四十六页\总数七十九页\编于四点返回例题目前四十七页\总数七十九页\编于四点返回1233′3〞1′2′1、空间分析——相贯线为3条圆弧组成的空间曲线。2、投影分析——相贯线的水平投影落在三棱柱棱面的积聚性投影上。3、投影作图4、整理轮廓线1〞2〞【例题1】求两立体表面交线。目前四十八页\总数七十九页\编于四点1、求贯穿点；2、求中间点；3、依次平滑连接各点；4、整理投影图。【例题2】求四棱柱和圆锥的相贯线。目前四十九页\总数七十九页\编于四点【例题3】求四棱柱和圆锥的相贯线。目前五十页\总数七十九页\编于四点返回【例题4】求两立体表面交线目前五十一页\总数七十九页\编于四点返回【例题5】求两立体表面交线目前五十二页\总数七十九页\编于四点

两曲面体的相贯线，在一般情形下是封闭的空间曲线，特殊情形下可能是平面曲线或直线。求作相贯线，一般通过求出两曲面体表面上一系列的共有点，连成光滑曲线，并判别其可见与不可见部分，即得相贯线。

3.3.4两曲面体相交目前五十三页\总数七十九页\编于四点求相贯线的步骤

分析两曲面立体的几何形状，相对大小和相对位置，弄清相贯线是空间曲线还是平面曲线或直线；求特殊位置点；求一般位置点；判别可见性并依次光滑连线。最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。目前五十四页\总数七十九页\编于四点一、求特殊点

1、最点：高、低、前、后、左、右；

2、轮廓线上的点。55"5'6'三、顺次光滑连接各点，得相贯线的投影。41321'2'4"3"(2")1"3'(4')6空间分析一、两圆柱分别垂直于H、W面，则其投影分别积聚在相应投影面上。二、相贯线为两立体表面的共有线，则相贯线的H、W面投影已知。解题步骤二、求一般点1、圆柱和圆柱正交相贯目前五十五页\总数七十九页\编于四点两圆筒正交相贯注意两圆筒相贯时，外表面与外表面相贯，内表面与内表面相贯，内外表面之间不产生交线。目前五十六页\总数七十九页\编于四点目前五十七页\总数七十九页\编于四点相贯线向大圆柱轴线一侧弯交线为两条平面曲线（椭圆）相贯线向大圆柱轴线一侧弯圆柱的直径相对发生变化时，相贯线的变化趋势相贯线方向变化目前五十八页\总数七十九页\编于四点目前五十九页\总数七十九页\编于四点

圆柱和圆柱相交目前六十页\总数七十九页\编于四点5621解题步骤1空间分析（1）两圆柱的相对位置怎样？（2）小圆柱是否完全贯在大圆柱内？5光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；6加粗可见轮廓线。2判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；3求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。1"(2")1'2'3"4"3'(4’)34yy5"(6“)5'6'4求出至少一对一般点；1、圆柱和圆柱正交PHPW实对实相贯目前六十一页\总数七十九页\编于四点解题步骤1空间分析（1）孔和柱的相对位置怎样？（2）孔是否全贯在大圆柱内？5光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；6加粗可见轮廓线。2判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；3求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。4求出至少一对一般点；空对实相贯PH1、圆柱和圆柱相交56211"(2")3'(4')34y5"(6")5'6'1'2'3"4"PWy目前六十二页\总数七十九页\编于四点5621解题步骤1空间分析（1）孔和孔的相对位置怎样？（2）孔是否完全贯在大圆柱孔内？5光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；6加粗可见轮廓线。2判断一下相贯线的哪个投影是已知的，根据已知的投影求未知的投影；3求出相贯线上的特殊点：最高、最低、最前、最后、最左、最右、转向轮廓线上的点。1"(2")3'(4')345"6"5'6'4求出至少一对一般点；空对空相贯1'2'3"4"1、圆柱和圆柱相交yPHyPW目前六十三页\总数七十九页\编于四点表面取点法：相贯线的一个投影或二个投影已知，其它投影可以用表面取点法求出。适用于相贯两立体中至少有一个圆柱（即至少一个投影有积聚性）时。辅助平面法：相贯线的三个投影都未知时，可以用辅助平面法作出投影．即利用辅助平面与两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交线的交点即为相贯线上的点．辅助平面法一般采用平面，多用于相贯两立体的投影都不具有积聚性时。相贯线的画法目前六十四页\总数七十九页\编于四点

假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。

根据三面共点的原理。

一、辅助平面求点法目前六十五页\总数七十九页\编于四点

（1）辅助平面必须是特殊位置的平面；（2）辅助平面与两回转体同时相交，所产生的两截交线必须是简单的直线和圆。辅助平面的选择原则：假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。根据三面共点的原理目前六十六页\总数七十九页\编于四点yyPW1PV1yy125光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；6整理轮廓线。解题步骤1空间分析（1）柱锥的相对位置怎样？（2）圆柱是否完全贯在圆锥内？2判断一下相贯线的哪个投影是已知的？3求出相贯线上的特殊点。4求出至少一对一般点；1"1'4"3'

4'3"2"2'34"PV3PW3PV2PW25"6"565'

6'（1）圆柱和圆锥正交2、圆柱和圆锥相交目前六十七页\总数七十九页\编于四点PW3PV2yy3'4'343"1"12'1'2"2yy4"PW2

PV3解题步骤1空间分析（1）锥球的