数学必修2第二章知识点小结及典型习题

第章

点面置系复）面含义：平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（）与平面的关系：点在面

内，记作

；点

A

不在平面

内，记作

点与直线的关系：点A的线l上记作A∈；点A在线l外，记作l；直线与平面的关系线l在平α内作lα线l不在平α内作lα。2、四个公理与等角定理：（）理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面.符号表示为

A∈LB∈A∈∈

Lα

Aα·

L公理1作：判断线否平内（只找直的点平内则线平内（）理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。符号表示为A、B、三不共线=>有只有一个平α，

α

AB·C··使A∈B∈α、∈α。公理2的个推论过条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。（过条相交直线，有且只有一个平面。（过条平行直线，有且只有一个平面。公理2作：确一个面依。（）理3：果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为P∈α∩=>α∩β=L，∈公理3说：两个不重合的平面要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，且线唯一。公理3作：判两个面否交依，证三共、点线依。

β即：①判定两个平面相交的方法。αP②说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。·③可以判断点在直线（交线）上，即证若干个点共线的重要依据。（4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、、是三条线

La∥bc∥b

a∥c强调：公理4实上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作：判空间条线行依（明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）（）角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互.3）明共面问题：方法1是证明由某些元素确定个平面，在证明其余元素也在这个平面内。方法2是证明分别由不同元素定若干个平面，再证明这些平面重合。（2证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，则第三个点在必然在这两个平面的交线上。（）明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。、异面线：同在任何一个平面内的两条直线不平行也不相交的两条直线）①异直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异直线性质：既不平行，又不相交。

③异直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④异直线所成角：直线a是面直线，经过空间任意一点，别直线a∥，b∥b则把直线’和b所的锐角或直角）叫做异面直线a和成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，°]若两条异面直线成的角是直角，我们就说这两异直互垂两直线互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形）说）判定间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2在异面直线所成角定义中，空间一点是取的，而和点的置无关（3求异面直线所成角步骤作、二证三计算）第一步作角先固定其中一条直在这条直线取一点过个点作另一条直线的平行先或条同时平移到某个特殊的位置点选在特殊的位置上第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角路是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角）、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系（）空两直的置系且只有三种：共面直线

相直：同一平面内，有且只有个公共点；平直：同一平面内，没有公共；异直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（）直与面位关有且只有三种：①线在平面内——有无数个公共点②线与平面相交—有只有一个公共点③线在平面平行—没公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示三种位置关系的符号表示

αa∩＝A∥α注意直线与平面的位置关系其他分类按直线与平面的公共点数分类：（自己补充）（）按直线是否与平面平行分类：（）直线是否在平面内分类：（3）平面与面间位关有且只有两种有无公共点分类）①个平面平行——没有公共点α∥。②个平面相交——有一条公共直线α∩＝b。、空中平问（）线行判方：①线线平行的定义：两条直线共面，但是无公共点②公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行//③线面平行的性质定理：

a//b

④线面垂直的性质定理：

//beq\o\ac(○,5)

面面平行的性质定理：

//

a//b（）线平平的定其质线平的定理平面一条直线与此平面内条直线平,则该直线与此平面平行。线线平行

线面平行证明线面平行只在平面内找条直线直线行即可一般情况下我会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。线平的质理如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题

线平的定法①线面平行的定义：直线与平面无公共点②判定定理：

a//③面面平行的性质：

/

a//

//b（）面平平的定其质面面平行的判定定理果个面内的两条相交直线都平行于另一个平面么两个平面平行（线面平行面面平行两个平面平行的性质定理与结论：①如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行面平行→线线平行）②如果两个平面平行么某一平面内的直线与另一个平面平行行线面平行）面平的定法//

①面面平行的定义个平面无共点。②定定理a

/

③线面垂直的性质定：

//

④公理四的推广：

//

/、空中垂问线、面线垂的义①两条异面直线的垂直两异面直线所成的角是直角这条异面直线互相垂直。②线面垂直果条直线和一平面内的任何一条直线垂直说条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直如两个平相交所的二面（一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角这两个平面垂直。（）线直判方：①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角垂直、异面垂直）②线面垂直的性质：②线面垂直的性质：

ab（）面直定理性定判定定理一直线和一个面内的两条相交直线都垂直这条直线垂直这个平面。判定线面垂直只在平面内找两条相交直线与知直线垂直即（意两条直线必须相交）经常用到的知识点有：①等腰三角形三线合一（中线，角平分线，高果等腰三角形底边的中点，连接顶点与中点的线既是中线也是高，所以，这条线垂直于底边；②正方形的对角线是互相垂直的三角形勾股逆定理

a

2

可以推出a与b边直；④如果是要证异面垂直的两条直线采线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；eq\o\ac(○,5)

采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线垂的定法①线面垂直的定义②面垂直的判定定理：

cc

③平行线垂直平面的传递性推:

//

b④面面平行的性质结论：

//

aaeq\o\ac(○,5)

面面垂直的性质定理：

l

l（）面直判定和质理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理如果两个平面互相垂么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。面垂的定法①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角②面面垂直的判定定理：

③面面平行的性质结论：

//

、空角题空间角的计算步骤：一作二证，三计算（）线直所的

A。①两平行直线所成的角：规定为0②两条相交直线所成的角两条直线相交其中不大于直角的角叫这两条直线所成的角。

O

B③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行直线b成条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角，

的范围为（0，°。注意）面直线所成的θ：0°＜≤°（锐角或者直角）（）算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。（3角AOB度数并不等于直线AO与线BO所成的角。（）线平所的①平面的平行线与平面所成的角：规定

。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，取值范围为（0，°由①②③直线与平面所成的角围[0，°]。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角，二证，三计算键步是作（线射所的）

．．．．．．．．求面的法求一条直线与平面所成的角，就是要找这条直线在平面上射影，射影与它的直线所成的角即为线面角，即作垂线，找射影）①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）②方法作线上任意一点到面的垂线线面交点相连利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。③在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息、线上一点到面的垂线2、过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（）面和面的面①二面角的定义一直线出的两个半平面所组成的图形叫做二面角条线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角以二面角的上任意一点为顶点两面内分别作垂于的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④二面角：二面角的平面θ°≤≤180°求面的法①定义法在棱上选择一个特殊这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平面角②垂面法过上一点作棱的垂平面该平面与二面角的两个半平面产生交线两条交线所成的角为二面角的平面角③垂线法过面角的一个面内点作另一个平面的垂线垂足作棱的垂线利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。、“化想，熟他之的换线垂面直

面垂线平线面行面平行证空线平或直要意点（1由已知想性质，由求证想判定。（2适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。（3使用定理时要明确已知条件是否满足定理条件，再由定理得出相应结论。、固专练．图，在三棱锥中SA面ABCAB，DE垂平分SC且分别交AC于D，交SC于E，SA=AB，，求二面角BD-C的度数。

、、、棱长都为1的三棱锥－ABC中侧棱SA与面所的角是．、正方体ABCD－

BD11

中，①②

BC

与平面与平面

所成的角的大小是；所成的角的大小；③CC与面D所的角的大小；1④与面BCD1

所成的角的大小_；eq\o\ac(○,5)

与平面

BCD

所成的角的大小___________已空间内一点O出发的三条射线OAOB两两夹角为60求OA与平面所成的角的大小．、已知点S是三角形ABC所平外的一点

SASC

，SG为上高，D、、F分是、、SC的点，试判断

SG

与平面DEF

内的位置关系，并给予证明、已正方体

AD，证11

面//平面BCD11、知直线PA垂正方形ABCD在的平面A为垂足。求证：平面PACPBD。已知直线PA垂于圆O所的平面为足AB为O直径C圆周上异于A、B的一点。求证：平面面PBC。若、两条不同的直线αβ、是三个不同的平面，则下列命题中的真题()A.若m，α⊥，mαC.若⊥，∥，则α⊥

B.α∩＝，β∩＝n，∥，则∥若α⊥，⊥，β⊥

10设P是ABC所平面外一点，P到ABC各点的距离相等，而且到△ABC各的距离也相等，那么ABC()是等腰的直角三角形C.是等边三角形

是腰直角三角形不AB、所的三角形把等腰直角沿斜边上的高AD折成直二面角BAD—C则与平面ABC成角的正切值为))

3D.312如图，已知△为角三角形，其中＝，M为的点，PM垂于△ACB所平面，那么()A、＝PB>B、PA＝<PCC、PAPB＝PCD、PA≠PBPC13四棱锥S的面边长为高是的点点P表面上运动，并且总保持PE⊥，则动的轨迹的周长为

14αβ是两个不同的平面、n是平面及β之的两条不同线，给出四个论断：①m⊥n；α⊥；n⊥；⊥。以其中三个论断作为条件，余下个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

15如图1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，，∠＝，是BC的点，如图2)，将△ABE沿AE起，使二面角AE成二角，连接，，是CD中点，P是的点(1)求证：⊥BD