高中数学北师大版五学案：第一章 数列 §4　数列在日常经济生活中的应用 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精[学习目标]1.能够建立等差数列模型解决生活中零存整取中的问题。2。在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．知识点一与日常经济生活有关的基本概念1．增长率＝eq\f（增长量，增长前的量)。2．优惠率＝eq\f（购买商品获得的优惠额,商品标价）.3．存款利率＝eq\f（利息，存款额）.4．利息＝本金×存期×利率．知识点二常见的模型1．单利和复利用符号P代表本金,n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和）．若按单利计算，到期的本利和S＝P(1＋nr);若按复利计算，到期的本利和S＝P(1＋r)n.2．零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为eq\f(nn＋1r，2)x元，全部取出的本利和为nx＋eq\f（nn＋1r,2)x元．3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r,约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P（1＋r）n元．4．分期付款模型贷款a元，分m个月将款全部付清,月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算,那么每月付款款额为eq\f(ar1＋rm,1＋rm－1）。题型一等差数列模型例1用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息,若一个月后付第一个月的分期付款,月利率为1%，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？解购买时付款150元,余款1000元分20次分期付款，每次付款数组成一个数列{an}．a1＝50＋（1150－150）×1%＝60(元），a2＝50＋(1150－150－50)×1％＝59。5（元），…，an＝50＋[1150－150－（n－1)×50］×1％＝60－eq\f(1,2)（n－1)(n＝1，2，…，20）．∴｛an}是一个等差数列，a1＝60，公差d＝－eq\f(1，2）.∴a10＝60－eq\f(1,2)×9＝55。5（元）．S20＝20×60＋eq\f(1，2）×20×19×（－eq\f（1，2)）＝1105(元)．因此，第10个月应付55。5元，全部付清后，实际付出1255元．反思与感悟(1）通过数学结果→检验→问题结果．体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力,并学会通过查询资料等手段获取信息．(2）按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚：①规定多少时间内付清全部款额；②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同;③规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．跟踪训练1教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄．某同学依教育储蓄的方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元，连续存6年，月利率为0.3%。求到期一次可支取本利和共多少元?解根据题意,到期一次可支取本利和为250×(72＋eq\f(72×73,2）×3%)＝19971（元)．答到期一次可支取本利和共为19971元．题型二等比数列模型例2银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和．则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和．按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下问题：（1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和．试求出储户n年后所得本利和的公式;（2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利和多少万元（精确到0.001）?解（1）记n年后得到的本利和为an，根据题意，第1年存入的本金P元，1年后到期利息为P·r，1年后本利和为a1＝P＋P·r＝P（1＋r)(元）；2年后到期利息为P(1＋r）r元,2年后本利和为a2＝P（1＋r）＋P（1＋r）r＝P(1＋r)2（元）；……各年的本利和是一个以a1＝P（1＋r）为首项，公比q＝1＋r的等比数列｛an｝，故n年后到期的本利和an＝a1qn－1＝P（1＋r)（1＋r）n－1＝P(1＋r）n（元）（复利公式）．（2)根据上式,5年后本利和为a5＝1×(1＋0。0279）5≈1.148（万元)．答5年后得本利和约为1。148万元．反思与感悟求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性,对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要．跟踪训练2某人从2016年起,每年1月1日都到银行存款a元(均为一年期），若年利率为p保持不变，且每年到期的存款连同利息都及时转为新的一年期存款,此人到2026年1月1日不再存款，而将所有存款及利息全部取回,则他可取回的总钱数为多少？解从2016年年初到2017年年初有存款b1＝a（1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝（bn＋a)（1＋p）．将之变形为bn＋1＋eq\f(a1＋p,p）＝(1＋p）[bn＋eq\f(a1＋p,p）］，其中b1＋eq\f（a1＋p,p)＝eq\f（a1＋p2，p).∴｛bn＋eq\f(a1＋p,p)}是以eq\f（a1＋p2,p）为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝eq\f（a，p)［（1＋p）n＋1－（1＋p）]，即这个家庭到2026年年初本利可达eq\f（a,p）［（1＋p）11－(1＋p）］元．题型三等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d〉0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2,…是一个公差为d的等差数列．与此同时,国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定利率为r(r>0）,那么，在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r）n－1,第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2,…，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．(1）写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式;（2）求证:Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn}是一个等差数列．解(1)依题设有Tn＝Tn－1（1＋r）＋an(n≥2）．(2）T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式,得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1（1＋r）＋an＝a1（1＋r)n－1＋a2（1＋r）n－2＋…＋an－1（1＋r）＋an。①在①式两端同乘(1＋r），得（1＋r）Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r）n－1＋…＋an－1（1＋r)2＋an（1＋r）．②②－①,得rTn＝a1（1＋r)n＋d［（1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋（1＋r)］－an＝eq\f(d,r）[（1＋r)n－1－r]＋a1（1＋r)n－an,又an＝a1＋（n－1)d，则Tn＝eq\f(a1r＋d,r2）(1＋r)n－eq\f（d，r)n－eq\f（a1r＋d,r2).如果记An＝eq\f（a1r＋d,r2)（1＋r)n，Bn＝－eq\f（a1r＋d，r2）－eq\f（d,r）n，则Tn＝An＋Bn，其中{An}是以eq\f(a1r＋d，r2）（1＋r)为首项，以1＋r（r〉0)为公比的等比数列，｛Bn｝是以－eq\f(a1r＋d，r2）－eq\f(d,r)为首项，－eq\f（d，r）为公差的等差数列．反思与感悟解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题,将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题,因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.跟踪训练3据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番,2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答:(1)2009年底人类知识总量是多少？(2）2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算,2020年底人类知识总量是多少？解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n。于是(1）从2000年底到2009年底是每三年翻一番,共翻三番,在a的基础上,2009年底人类知识总量为23a＝8a。(2）从2009年底到2019年底是每一年翻一番,共翻十番,所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8192a。(3）2020年是每73天翻一番,而2020年按365天计算,共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8192a×25＝262144a.1．一群羊中,每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克,已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有（)A．6只B．5只C．8只D．7只答案A解析依题意除去一只羊外,其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列．设a1＝7,d〉0，Sn－1＝65－10＝55，∴(n－1）a1＋eq\f(n－1n－2，2)d＝55，即7(n－1）＋eq\f（n－1n－2d，2）＝55，∴(n－1）［7＋eq\f（n－2d，2）］＝55。∵55＝11×5且（n－1)为正整数，[7＋eq\f(n－2d，2）］为正整数．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1＝5，，7＋\f(n－2,2)d＝11.））解得n＝6.2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近(）A．860个 B．1730个C．3072个 D．3900个答案C解析由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34）＝61,eq\f(61,6）＝10eq\f（1，6），可得a11＝3·210＝3072，故选C。3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3。14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位）（）A．14mB．15mC．16mD．17m答案B解析纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f（4＋12,2）＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m,故选B.4．某企业在2016年年初贷款M万元,年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于()A.eq\f（M1＋m10,1＋m10－1) B。eq\f（Mm,1＋m10)C.eq\f（Mm1＋m10，1＋m10－1) D.eq\f(Mm1＋m10,1＋m10＋1）答案C解析由已知条件和分期付款公式可得，a［(1＋m)9＋（1＋m)8＋…＋（1＋m)＋1]＝M（1＋m)10，故a＝eq\f(Mm·1＋m10，1＋m10－1）.5．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算）并优惠x％，为鼓励购房者一次付款，问优惠率应不低于多少？(x取整数，计算过程中参考以下数据：1。029＝1.19，1.0210＝1.2,1。0211＝1。24）(）A．15％ B．16%C．17% D．18％答案B解析由题意，知50（1－x％）（1＋2%)9≤5(1.029＋1。028＋…＋1.02＋1)．整理，得1－x%≤eq\f（1。0210－1,10×1.029×0。02)＝eq\f（1，1。19）＝0。8403,∴x％≥15.97%，∴一次付款的优惠率应不低于16％。数列应用问题的常见模型：（1）等差模型：一般地,如果增加（或减少）的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差，其一般形式是:an＋1－an＝d(常数）．例如：银行储蓄单利公式,利息按单利计算，本金为a元,每期利率为r,存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)．（2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，增加（或减少)的百分数就是公比,其一般形式是：eq\