勾股定理讲义

勾股定理讲义一．知识归纳１勾定内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，b，边为，么a

勾股定理的由来勾股定理也叫高定理在西方称为毕达哥拉斯定理国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股边称为弦早三千多年前，周朝数学家商高就提出勾三，股四五形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２勾定的明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4S方

正方形A

，4

12

abb

，化简可证．D

HF

GbcB方法二：baa

bb

aab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为ab2大正方形面积为Sa)

ab

所以

1

梯形梯形方法三：

梯形

11(a，Sc222

，化简得证AaccB

DbEa３勾定的用范勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系适用于直角三角形于角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征而应用勾股定理时必须明了所考察的对象是直角三角形４勾定的用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，C90，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５勾定的定理如果三角形三边长，，c满，么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通“数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和

与较长边的平方

作比较，若它们相等时，以a，b，c为边的三角形直角三角形；若a

，时以b，三边的三角形是钝角三角形若a

，时以a，c为边的三角形是锐角三角形；②定理中，，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，满a

，那么以a，b，为边的三角形是直角三角形，但b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时能成斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６勾数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数中abc为正整数时，称，b，为组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如,4,5；；5,12,13；等③用含字母的代数式表示勾股数：

nn

（2,正整数nn,2nn为整数）

,

（m,，n为整数）2

７勾定的用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在用勾股定理时必须把握直角三角形的前提条件了直角三角形中斜和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８．股理定理应勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形在具体推算过程中应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９勾定及逆定的用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中密不可分的一个整体常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形要勾股定理求出边的长度者辅相成，完成对问题的解决．常见图形：C

C

30°

AD

BD

ABD题型一：直接考查勾股定理例１在中C90

A⑴已知AC，BC．求AB的⑵已知17，AC，求的分析：直接应用勾股定理

题型二：应用勾股定理建立方程例２⑴在中，BCcm，CDAB于D，＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为:，边长为15，这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30斜边长为，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：3

例３如图中，，CDBD2.5，的长CD

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.图RtABC，C904,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CA

B答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.图有两棵树，一棵高cm，另一棵高2cm两树相距，只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m

D分析4

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.知三角形的三边长为，bc判定是为①1.5，2，c

②a

2，b，3例7.边长为a，，满a，18，c的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.知ABC中AB13BC10cm边的中线证ABAC证明：ABDC勾股定理单测试题一选题1、下列各组数中，能构成直角角形的是（）A：，，：，，

C：，，D：，，2、在Rt△ABC中，∠C＝°，＝12，＝16，则c的长为（）A：B：18：20：213、在平面直角坐标系中，已知点的坐标(3,4)，则的长为（）A：B：：：

4、在Rt△ABC中，∠C＝°，∠＝°＝，长为（）A：：

C：

52

D：

5、等边三角形的边长为2，则三角形的面积为（）A、

B、

C、

D、6、若等腰三角形的腰长为10，边长为12则底边上的高为（）A、6B、、8、5

7、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cmAD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点重合

A

ED折痕为EF，则△ABE的积为（）A、3cmB、4cmC、6cmD、12cm

B

F7题

C8、若△ABC中

AC

，高AD=12,则BC的长（）A、14、、或4、以上都不对二填题1、若一个三角形的三边满足

2

，则这个三角形是。2、木工师傅要做一个长方形桌，做好后量得长为80cm宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面“格或“不合格”）3、直角三角形两直角边长分别和，则它斜边上的高__________。4、如右图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，，，的面积的和为。AD5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠顶点恰好在BC边F处已CE=3,AB=8,BF=___________

EB

F

C6、一只蚂蚁从长为4cm、为3cm高是cm的长方体纸箱的A点沿箱爬到B点，那么

B它所行的最短路线的长是____________cm

第67、将一根长为15㎝的筷子置于面直径为㎝，为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝则h取值范围________________。

A6

2222三解题1分）如图，在Rt△ABC中∠ACB=90，CDAB，BC=6AC=8，求AB、CD的

2分如四形ABCD中ABBC4cmCD12cmDA＝13cm，ABC＝90求四边形ABCD的积。．已eq\o\ac(△,)ABC三边分别为k

－12kk（k＞证eq\o\ac(△,)ABC是直角．已知正方形ABCD的长为E为中为A上一点，且EFC的形.

14

，判断5．﹝分.如图，小红用一张方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC•为10cm．小红折叠时，顶D落在BC上的点F（折痕为AE一，此时EC有多长？•

ADEBFC7

11《股理单卷案一、选择题：１、Ｂ２Ｃ３Ｃ４Ｃ５、Ｂ６、Ｃ７Ｃ８Ｃ二、填空题：１、直角三角形２、合格３４２５５６６７、２≤ｈ≤３三、解答题：１eq\o\ac(△,Rt)ABC

5

中，BC=6，AC=8ＡＢ＝Ｃ＋ＢＣＡＢ＝＝１０ＣＤ＝2、解：连接AC

AC6＝4.8AB10∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中ＡＣ＝ＢＢＣＡＣ=9=5cm∴eq\o\ac(△,S)ABC=

AB3=2

=6cm

在△中ＡＣ+CD=25+144=169DA=13=1