高等数学第一章第节连续函数

第八节连续函数函数的连续性函数的间断点连续函数的运算与初等函数的连续性1一函数的连续性1函数的增量22

连续的定义3用函数在处连续的定义可叙述为：设函数在的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数总存在正数使当时,则称在处连续.由定义可知,函数在处连续,必须满足下面三个条件,(1)在处有定义;(2)存在;(3)有不等式成立,恒4例1证由定义2知,3单侧连续5定理1函数在处连续的充要条件是在处即左连续又右连续.例2解右连续但不左连续,64连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,

在开区间上的连续函数,上每一点都连续的函数,叫做在区间上连续.或者说函数在区间7二函数的间断点定义3设函数在的某个邻域或去心邻域有定义,在处不连续,若为函数的间断点.则称8例4解9例510解

注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.(3)如果函数在某个去心邻域内有定义,且当时,左、右极限至少有一个不存在,则称为第二类间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点,的第一类间断点,是函数若都存在.则11例6解例7解12例8解13三连续函数的运算与初等函数的连续性定理2例如,1

连续函数的和、差、积、商的连续性142

反函数与复合函数的连续性

定理3单调的连续函数必有单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.15定理4证以为例证明.将上瓣两步射合起盈来,16意义1.极限鼓符号距可以槽与函秆数符惧号互郑换;例9解例10设证明证17例11求极炮限解原式定理5注意定理5是定胸理4的特它殊情征况.由于幂函数在区间可以表示成而在区间上是连续的,18在上是折连续为的,所以在是连续的.可以证明在其定义域(与指数有关)上是连续的.3初等酱函数巩的连拘续性有前料面的臂讨论签可得元：一切基本初等函数在定义域内是连续的.从而,根据连续函数的四则运算与复合函数连续性可知:一切助初等性函数毅在定千义区萝间内芝是连钩续的.注意破定义茎区间屋内是蔑指包瞧含在甩定义贼域内染的区抵间.求初等函孤数在凯连续孔点处每的极扑限可雨以用代入筐法.即这里为初等函数的连续点.19例12例13解解例14求函数的间断点,并指出间断的类型.20解函数为初等函数，函数的定义域为因此为函数的间断点，由于所以是函数的可去间断点.由于所以是函数的跳跃间断点.连续的。因此在定义区间内是21定义44闭区视间上社连续文函数还的性睬质定理6(最大拍值和燥最小洁值定匠理)在闭昼区间墙上连类续的设函数辉一定脊有最挪大值冶和最勒小值.22注意:1爬.若区房诚间是勒开区丧间,定理疑不一蚕定成锄立;推论(有界芬性定给理)在闭暂区间葵上连戴续的带函数镇一定篇在该枯区间浪上有处界.2.若区煎间内夕有间村断点,定理隔不一近定成朵立.定理7(零点认定理)那末在开区间内至少有函数的一个零点,在闭区间上连续，设函数与异号(即且23使.即至刚少有赶一点几何冻解释例15证由零睬点定门理,24例16证由零需点定躺理,25定理8(介值浙定理)设函叙数在闭嫂区间连续匠，且射在这狐区间扁的端音点取令不同退的函牵数值及那末快，对凯于与之间爪的任遵意一共个数在开糠区间内至竭少有戏一点使得上BCAab证由零喷点定证理,)(xfy=26推论

在闭区间上连续的与最小值之间的任何值.函数必取得介于最大值例17设函数在区间上连续,为上个定点,证明:在