中学数学 圆锥曲线中向量共线问题的处理套路

圆锥曲线中向量共线问题的处理套路【前言】首先要了解在圆锥曲线中向量的一些基本形式：（1）单一共线型(2)混合共线型(3)点在曲线上(当时，、、三点共线，形如),接下来从圆锥曲线的套路出发，结合向量的一些基本形式，探讨一下圆锥曲线中向量的处理套路。套路一参数转化为两点的纵标之比或横标之比此策略主要解决单一共线型，用三角形相似结合韦达定理将参数转化为两点的纵标之比或横标之比【例题1】如图所示，已知圆，定点，为圆上动点，点在上，点在上，且满足,,点的轨迹为曲线求曲线的方程过定点的直线交曲线于不同的两点、（点在点、之间），且满足,求的取值范围。【分析】求的取值范围，突破口在于将转化为，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化。下一步关键在于如何将和联系，处理策略是这样就建立了和联系，再利用的取值范围就能求出的范围。【简析】（1）∵,.∴为的垂直平分线，∴又∵,∴∴动点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距。∴曲线的方程。当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，得，由得。设，（1），（2）∵,∴，∵∴又当直线斜率不存在方程，∴【练习】抛物线，是的焦点，过点的直线与相较于、两点。设的斜率为1，求与夹角的余弦值；设,若，求在轴上截距的变化范围。【评析】此策略本质上还是韦达定理得应用，关键在于用三角形相似将参数与坐标之比联系起来。一般有如下处理：若用三角新相似等到即，则利用韦达定理得到两根之和与两根之积，得到（或，然后将代入即可），对于纵标也可以如此处理。套路二利用韦达定理进行整体代换把所求的量用两根之积与两根之和表示，然后利用韦达定理整体代入进行计算、化简。【例题2】设椭圆的离心率，圆与直线相切（为坐标原点）。求椭圆的方程；过点任作一直线交于椭圆于,两点，记,若在线段上取一点，使得,试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若是，请求出该定直线方程；若不是，请说明理由。【分析】先利用，把用表示出来即，然后将代入到中，然后将的横标算出来，用，表示，最后利用韦达定理代入即可。【简析】（1）椭圆方程为。（2）直线的斜率必存在，设其直线方程为，并设，，联立方程，消去得则，由，得故。设点的坐标为，则由，得，解得（此处，同学会问，我怎么会想到此问题转化为求的横标呢，这就属于点在直线上的套路了）又，从而。故点在定直线上。【练习】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点切好是抛物线的焦点，离心率为。（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于，两点，交轴于点，若,,求证：(提示)【评析】直线与曲线方程联立利用韦达定理，把两根之和，两根之积整体代入相应的表达式中进行计算与化简，这是最常见的套路，关键在于把研究的问题转化到坐标上来，与韦达定理挂钩。套路三紧扣点在曲线上利用曲线方程及相关的表达式进行整体代换此套路也是我们经常用的利用点的坐标系解决圆锥曲线问题。若点能够用曲线上的两点，表示（或能用已知点表示），如果点在曲线上，则将点的坐标表达式代入曲线方程，如果点不在曲线上，则必须把点的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理，最后将曲线方程以及相关的式子整体代入。【例题3】设椭圆过点，且着焦点为求椭圆的方程；为=当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上【分析】先把转换成向量形式，利用向量关系把，两点的坐标用，两点的坐标表示出来，抓住，在曲线上，将，两点的坐标表达式分别代入曲线方程中，然后进行整理，整体代式，化简等，问题也随之解决。【简析】（1）由题意：，解得，所求椭圆方程为设，，，由题设，,,,均不为零。且又,,,四点共线，可设,，于是（1）（2）由于，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，整理得（3）（4）由（4）-（3）得∵∴即点总在定直线上。【例题4】设动点满足,其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求点的轨迹方程【分析】利用向量关系把点的坐标用，两点的坐标表示出来，由于不在曲线上，所以把点的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理，最后将曲线方程以及相关的式子整体代入。【简析】设点，，，由得又，且即又故点的轨迹为 【练习】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线。设为椭圆上任意一点，