2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共24分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，233．下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（）A． B．3 C． D．25．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．57．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积始终是1．所有正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④二.填空题（每小题3分，共27分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝．11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高米．12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为．13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为．14．写出一个在函数图象上的点的坐标．15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为．17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有．（填序号）三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共4918．计算：（1）；（2）（2）（）．19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是．x…﹣3﹣2﹣10123…y​​判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：​（1）公共阅报栏离小红家有米，小红从家走到公共阅报栏用了分．（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了分；（3）邮亭离公共阅报栏有米，小红从公共阅报栏到邮亭用了分；（4）小红从邮亭走回家用了分，平均速度是米/秒．23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．​（1）求证：四边形ACEF是矩形；（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，的最小值为；当x＜0时，的最大值为．（2）当x＞0时，求的最小值．（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

参考答案一.选择题（每小题3分，共24分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．解：A.的被开方数3不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝2，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；C.＝，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；D.＝，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键．2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23【分析】根据勾股定理的逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故B错误；C、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故C正确；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【分析】根据函数的定义解答即可．解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（）A． B．3 C． D．2【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝3，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．5．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．解：A、+无法计算，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、3﹣＝2，故此选项错误；D、﹣＝﹣＝，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（）A．4 B．4.4 C．4.8 D．5【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．解：过A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AE⊥BC，∴EB＝EC＝CB＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12，∴•AC•BD＝12，5×BD＝12，解得BD＝．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．7．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．解：①、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故①符合题意；②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故②符合题意；③、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；④、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故④符合题意；∴能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②④故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF始终是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；④四边形OECF的面积始终是1．所有正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE＝∠COF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；故①正确；②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，故②正确；③∵BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，则EF＝，由①得△OEF是等腰直角三角形，∴OE＝＝．∵OB＝，OE的最小值是1，∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+．故③正确；④由①知：△OBE≌△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，故④正确．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．二.填空题（每小题3分，共27分）9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥6．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．解：由题意可得x﹣6≥0，解得x≥6，故答案为：x≥6．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝12．【分析】根据题意列出等式，然后开平方．解：根据题意，得a2＝8×18，∵a＞0，∴a＝12，故答案为：12．【点评】本题考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念的应用是解题关键．11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高8米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5，∴折断前高度为5+3＝8（米）．故答案为：8．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长．解：如图，等边三角形高线即中线，AB＝2，∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，∴由勾股定理得，AD＝．故答案为：．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为70°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠B＝35°，∴∠DCB＝35°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．14．写出一个在函数图象上的点的坐标（1，0）．【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为x≠0，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标．解：∵，∴x≠0，即该函数自变量的取值范围为x≠0，当x＝1时，y＝1﹣＝0，∴点（1，0）在该函数图象上．故答案为：（1，0）．【点评】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角【分析】根据平行四边形、特殊平行四边形的定义，可得答案．解：由四边形的关系，得，故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题关键．16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为（4，0）或（﹣2，0）．【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C的坐标即可．解：∵点A的坐标是（1，3），∴BC＝AB＝3，OB＝1，当C点在B点右边时，则OC＝OB+BC＝4，此时，C（4，0），当C点在B点左边时，则OC＝BC﹣OB＝2，此时，C（﹣2，0），∴点C的坐标为（4，0）或（﹣2，0）．故答案为：（4，0）或（﹣2，0）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点A的坐标求出正方形的边长是解题的关键．17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有①②③④．（填序号）【分析】①由题意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到BD＝BE；②由∠HBE＝∠CBF，∠HEB＝∠CFB证明即可；③先证明△BHE≌△DEC，从而得到BH＝DC，然后由平行四边形的性质可知AB＝BH；④连接CH，证△CEH是等腰直角三角形，DH＝CH，设EH＝EC＝a，得出DH＝CH＝EC＝a，进而得出BE＝DE＝（+1）EC．解：∵DH⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠BDE＝45°＝∠DBE，∴BE＝DE，由勾股定理得：DB2＝DE2+BE2，即DB＝DE，①正确；∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠DEC＝∠HFD＝90°，∴∠DHF+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，∴∠DHF＝∠C，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，∵∠DHF＝∠BHE，∴∠A＝∠BHE，②正确；在△BHE和△DCE中，，∴△BHE≌△DCE（ASA），∴BH＝DC，EH＝EC，∵AB＝CD，∴AB＝BH，③正确；连接CH，如图：∵BG平分∠DBC，∠DBC＝45°，∴∠HBE＝22.5°，∴∠CDE＝22.5°，∵EH＝EC，∠DEC＝90°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠EHC＝45°＝∠CDE+∠HCD，∴∠HCD＝22.5°＝∠CDE，∴DH＝CH，设EH＝EC＝a，∴DH＝CH＝EC＝a，∴DE＝DH+HE＝a+a＝（+1）a，∴BE＝DE＝（+1）a＝（+1）EC，④正确；故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共4918．计算：（1）；（2）（2）（）．【分析】（1）先把每一个二次根式画出最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．解：（1）＝3﹣﹣＝2﹣；（2）（2）（）＝（2）2﹣62＝12﹣36＝﹣24．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD，则BE可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，∴∠EDA＝∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADE，∴∠EDC＝∠DEC，∴CE＝CD＝6cm，∴BE＝BC﹣EC＝2cm．【点评】本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出CE＝CD＝6cm是解题的关键．20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是实数．x…﹣3﹣2﹣10123…y​​判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．【分析】描点、连线画出一次函数的图象；一次函数的自变量取值为实数；把自变量x的值代入解析式y＝2x+1，求出y的值；把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是实数；故答案为：实数；x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，.....．y＝﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，.....．把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，﹣2.5×2+1＝﹣4，1×2+1＝3，2.5×2+1＝6≠3，∴点A、B在函数y＝2x+1的图象上．【点评】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．【分析】连接BE．根据中点的定义求得AE＝6．根据矩形的性质和勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理可求GH的长．解：连接BE．∵E为AD中点，AD＝12，∴AE＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°．在Rt△ABE中，AB＝8，依据勾股定理BE2＝AB2+AE2，∴BE＝10．∵G，H分别为EF，BF中点，∴GH＝BE＝5．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：​（1）公共阅报栏离小红家有300米，小红从家走到公共阅报栏用了4分．（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了6分；（3）邮亭离公共阅报栏有200米，小红从公共阅报栏到邮亭用了3分；（4）小红从邮亭走回家用了5分，平均速度是100米/秒．【分析】（1）根据图象可知小红经历了4个过程：第0～4min，小红从家走了300m到达公共阅报栏；（2）第4～10min，小红在公共阅报栏看报；（3）第10～13min，小红走了200m到达邮亭，第13～18min，小红走回了家，从而可以推出公共阅报栏离小红家有300m、小红从家走到公共阅报栏用了4min、小红在公共阅报栏看报一共用了6min、邮亭离公共阅报栏有200m，小红从公共阅报栏到邮亭用了3min（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离、平均速度．解：（1）结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有300m；小红从家走到公共阅报栏用了4min；故答案为：300；4；（2）小红在公共阅报栏看报一共用了：10﹣4＝6（min）；故答案为：6；（3）邮亭离公共阅报栏距离：500﹣300＝200（m），小红从公共阅报栏到邮亭用时：13﹣10＝3（min）；故答案为：200，3．（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离500m、平均速度＝100m|s．故答案为：5；100．【点评】本题考查函数的图象，应充分理解图象中的每个量及每条线段的意义，从图象中寻找关键点，结合实际进行求解．23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．【分析】连接DE，DF，根据EF是△ABC的一条中位线，得到AE＝BE，AF＝CF，根据AD是△ABC的一条中线，得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DF∥AB，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．解：如图所示，连接DE，DF，∵EF是△ABC的一条中位线，∴AE＝BE，AF＝CF，∵AD是△ABC的一条中线，∴BD＝CD，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AD与EF互相平分．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．​（1）求证：四边形ACEF是矩形；（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．【分析】（1）先证四边形ACEF是平行四边形，再由菱形的性质得AD＝CD，然后证AE＝CF，即可得出结论；（2）过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，由矩形的性质得∠ACE＝90°，则∠ACG＝90°，再证△ADC和△ABC是等边三角形，得AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，然后由勾股定理得CE＝2，CG＝，则EG＝CE+CG＝3，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴AD+DE＝CD+DF，即AE＝CF，∴平行四边形ACEF是矩形；（2）解：如图，过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，则∠BGC＝90°，由（1）可知，AE＝2AD＝4，四边形ACEF是矩形，∴∠ACE＝90°，∴∠ACG＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，∴CE＝＝＝2，∵∠BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴BG＝BC＝1，∴CG＝＝＝，∴EG＝CE+CG＝2+＝3，∴BE＝＝＝2，即BE的长为2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE