用样本估计总体知识讲解

1/8.用样本估计总体1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地做出总体估计.3.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.4.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征<如平均数、标准差>,并做出合理的解释.5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.要点一、频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分1.计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差2.决定组距与组数3.将数据分组4.列频率分布表5.画频率分布直方图1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.要点二、频率分布折线图、总体密度曲线连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.在样本频率分布直方图中,样本容量越大,所分组数越多,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息,能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.要点三、茎叶图当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图.<1>用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.<2>茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰.要点四、众数、中位数与平均数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的,用众数是很有必要的.例如班委会要作出2/8.一项决定,考察全班同学对它赞成与否就可以用众数.2.中位数将一组数据从小到大依次排列,把中间数据<或中间两数据的平均数>叫做中位数.中位数把样本数据分成了相同数目的两部分.3.平均数样本数据的算样本数据的算术平均数,即x=(x+x++x).12n由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多,中位数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.要点五、标准差与方差n样本数据n2,<1>算出样本数据的平均数x.ii<4>算出<3>中n个平方数的平均数,即为样本方差.<5>算出<4>中平均数的算术平方根,,即为样本标准差.2.方差从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2<即方差>来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差,它也描述了数据对平均数的离散程度.类型一：频率分布表、频率分布直方图同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图〔如下图所示．已知从左到右各长方形41[解析]〔1依题意知第三组的频率为=．3/8.∴本次活动的参评作品数为=60件．5105〔3第四组的获奖率是=189,269显然第六组的获奖率较高．[总结升华]弄清所求问题是什么,并正确地运算是做对题的关键．本题主要考查同学们对频率分布直方图的理解,只有熟悉它的特征,才能清楚数据分布的总体趋势,根据直方图反映的信息正确解题．的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图〔如下图所示．根据频率分布直方图推测,这3000名学例2．阅高考试卷有一个环节叫"试批"．某省为了了解和掌握考生的实际答卷情况,随机地抽取了100名考生的数学成绩,数据如下〔单位：分：〔5根据折线图估计该省考生的数学成绩在哪一个分数段的人数将会最多．[思路点拨]理解频率分布直方图的具体含义.极差55组数11把100个数据分成11组,这时组距===5组数11数1率频率组距4/8.24962计1〔2根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,见下图．〔2根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,见下图．〔5折线图的最高点位于100~105之间,据此估计该省考生的数学成绩在100~105分这个分数段的人教条化．本例是把5分看成一个分数段,统计各段的情况．1174210[答案]D频率===．4400~500200~300500~600300~400100~200个数〔3估计该电子元件寿命在100~400h以内的占总体的比例；[解析].100~200200~300300~400400~500500~600计数率1类型二：众数、中位数、平均数务董事长副董事长事总经理理管理员员数112153工资〔元平均数、中位数、众数又是什么？〔精确到元〔3你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．[思路点拨]理解平均数、中位数、众数的概念．〔3在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．反映样本数据上的特点,结合实际情况,灵活运用．〔2众数、中位数、平均数三者比较,平均数更能体现每个数据的特征,它是各数据的重心．[变式1]为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图<如图>,图中从左到右各小组在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.5频率/组距6/8.在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1.<1>由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,又因为频率=第二小组频数所以样本容量=第二小组频数<2>由图可估计该学校高一学生的达标率约为<3>由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69,前四组的频数之和为114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.类型三：方差、标准差：人数甲组624542180>2+6<100－80>2]=<2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400>=172,1s2=<4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400>=256．乙50甲乙,绩好些．0好[总结升华]要正确解答这道题,首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算,而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本例的"满分人数"；其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论．10.210.110.09.89.97/8.10.39.710.09.910.110.310.49.69.910.110.98.99.710.210.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10mm,从计算的结果来看哪台机床加工111甲10乙10s22∴用甲机床比乙机床稳定,即用甲机床加工较合适.类型四：茎叶图某中学高二〔2班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下：画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．[思路点拨]茎叶图便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据