参考数论基础slgl

暨南大学数学系 2018-04-158910118910 8910定义若8910为≡b(modm)8910定义若m8910为 (modm)若m不整 −b，则 与b模m不同余，为̸≡ (modm)定义若m整 −b， 与b模m同余，为 (modm)若m不整 −b，则 与b模m不同余，为̸≡ (modm)8910例 8910定义若m整 −b， 与b模m同余，为 (modm)若m不整 −b，则 与b模m不同余，为̸≡ (modm)例1 7≡2(mod5)，−13≡5(mod6)．还有17≡12≡7≡2≡−3≡−8≡−13 (mod5)89108910定义若m整 −b， 与b模m同余，记 (modm)若m不整 −b，则 与b模m不同余，记̸≡ (modm)例1 7≡2(mod5)，−13≡5(mod6)．还有 (mod (mod8910注记任何整891088910性质 若1≡b1(modm)且2≡b2(mod则1± 2≡b1±b2(mod12≡b1b2(modc8910注记 ≡bc(modc8910b(modm)也未必成立注记 当c≡bc(modm)，c̸≡0(modm)时b(modm)也未必成立例 15·2≡20·2(mod10)成立，但15̸≡20(mod8910 注记 当c≡bc(modm)，c̸≡0(modm)时bmodm)也未必成立例 15·2≡20·2(mod10)成立，但15̸≡20(mod10)！性质2 若c≡bc(modm)，且 (c.m)=1， ≡b(modm)成立．8910 注记 当c≡bc(modm)，c̸≡0(modm)时bmodm)也未必成立例 15·2≡20·2(mod10)成立，但15̸≡20(mod10)！性质 若c≡bc(modm)， (c.m)= ≡b(modm)成立性质 c≡bc(modmc) ≡b(mod8910 898910例 求同余 +12≡5(mod8)的全部解898910例 求同余 +12≡5(mod8)的全部解例 求同余式 ≡3(mod19)的全部解例3 +12≡5(mod8)的全部解．例4 求同余式4 ≡3(mod19)的全部解例89108910例3 +12≡5(mod8)的全部解．例4 求同余式4 ≡3(mod19)的全部解例 求同余式 ≡3(mod14)的全部解问题求线性同余 ≡c(modm)的全部88910定理(线性同余式定理 ,m)=1若gc， ≡c(modm)无．8910 定理(线性同余式定理 ,m)=1若gc， ≡c(modm)无解2若g|c， ≡c(modm)恰有g个．8910 定理(线性同余式定理 ,m)=1若gc， ≡c(modm)无解2若g|c， ≡c(modm)恰有g个．g|c时，上述同余式的求解方法如1求线性方 + =g的一个解( 08910 定理(线性同余式定理 ,m)=1若gc， ≡c(modm)无解2若g|c， ≡c(modm)恰有g个．g|c时，上述同余式的求解方法如1求线性方 + =g的一个解(0,2令0= 0/g， 0(modm)是一个8910 定理(线性同余式定理 ,m)=1若gc， ≡c(modm)无解2若g|c， ≡c(modm)恰有g个．g|c时，上述同余式的求解方法如1求线性方 + =g的一个解(0 02 令0= 0/g， 0(modm)一3k=01···g−1到全部互不同余解≡0+g

(modm8910 88910例 判断下列同余式的解的个数943 ≡381(mod895 ≡266(mod例 判断下列同余式的解的个数943 ≡381(mod895 ≡266(mod8910例8910定义 ,m)=1时 ≡c(modm)一个解，我们c (modm8910 定义 ,m)=1时 ≡c(modm)一个解，我们c (modm特别地 ≡1(modm)的唯一解记≡ (modm8910 定义 ,m)=1时 ≡c(modm)一个解，我们c (modm特别地 ≡1(modm)的唯一解记≡ (modm例 4−1≡5(mod19)．8910 8989102例 求同余 + −1≡0(mod7)的全部解28989102例 求同余 + 22例 求同余 +1≡0(mod7)的全部解22例9 例10 2

+ 2+1≡0(mod7的全部解228910例289102例 求同余2例 求同余

+ 2+1≡0(mod7的全部22例 求同余 22 求同余 ≡0(mod6)的全部288910定理(模p多项式根定理 设p为素数ƒ ) d d−1+··· 是次数为d≥1的整系数多项式，p 0，则同余ƒ )≡0(mod891089108910118910 8910问题研究整 的幂次、2、3、··8910问题研究整 的幂 、2、、··

(mod2345600000011111124312434213441414189108910问题研究整 的幂 、2、234567823456780000000011111111241241243264554623

(mod234560000001111112431243421344141418910891089108910则

p为素数，̸0(modp−1≡1(modp).88910例 (1)23|622−1．(2)101|7310088910例 (1)23|622−1．(2)101|73100例 计算235(mod例 (1)23|622−1．(2)101|73100例 计算235(mod8910例 求同余式103≡48910引理p为素数，̸0(modp)．则列,,, ···,(p−) (modp),,,

··· p

(modp)891089108910118910 8910问题是否 ???≡1(modm)，对8910问题是否 ???≡1(modm)，对任何m≥234567800000000111111112486248639746555555556666666679326919191918910m891023456780000000011111111248624823456780000000011111111248624863974655555555666666667932691919191仅当=1379 (mod891058910588910注记当gcd( .m)>1时， k≡1(modm)不注记当gcd( .m)>1时， k≡1(modm)不定义对自然数m，定义它 函数如φ(m)=# |1 ≤m,gcd ,m)=8910 定理 如 ,m)=1，φ() (modm)8910 定理 如 ,m)=1，则φ(m)≡1(modm)引理 ,m)=1，且b1,b2,···,bφ(m)是m中与m互素的φ(m)个整数．则数b ,b ,b ,···, (modm与数b1, b2, b3, ··· bφ(m) (modm相同，尽管它们的次序可能8910 8910118910 问题如何快速计 函数89 问题如何快速计 函数例 8910 问题如何快速计 函数例 φ(p)=p8910 问题如何快速计 函数例 φ(p)=p例 φ(pk8910 问题如何快速计 函数例 φ(p)=p例 φ(pk)=pk8910 问题如何快速计 函数例 φ(p)=p例 φ(pk)=pk例 φ(pq)8910 问题如何快速计 函数例 φ(p)=p例 φ(pk)=pk例 φ(pq)=(p−1)