计量经济学多元线性回归模型的统计检验

§3.2多元线性回归模型的统计检验

StatisticalTestofMultipleLinearRegressionModel

说明计量经济学模型是应用数理统计方法建立的一类经济数学模型，所以在模型参数估计出来后，必须检验其估计的可靠程度是否满足数理统计学理论与方法上的要求。

计量经济学模型的统计检验主要包括:拟合优度检验方程的显著性检验变量的显著性检验

一、拟合优度检验

(TestingtheSimulationLevel)拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度。在一元回归模型中，拟合优度检验是通过构造一个可以表征拟合程度的统计量R2来实现。在多元回归模型中，也可以用该统计量来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。总离差平方和、回归平方和及残差平方和定义TSS为总离差平方和（TotalSumofSquares），反映被解释变量样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和（ExplainedSumofSquares），反映被解释变量回归估计值的变差大小，也是模型中的解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差平方和（ResidualSumofSquares），反映被解释变量样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。那么，TSS、ESS、RSS之间存在的如下关系：

总离差平方和=回归平方和+残差平方和

TSS=ESS+RSS关于TSS=ESS+RSS的证明过程（教材P73）证明：将TSS，即总离差平方和进行分解：其中根据正规方程组（见教材P67（3.2.6）式），有：…所以TSS=RSS+ESS

注意：回归平方和反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，残差平方和越小，样本回归线对样本观测值的拟合程度越高。（教材P74）所以，可以用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。也即用检验模型的拟合优度。从而R2叫做多重可决系数，也简称为可决系数或判定系数。但是在应用过程中人们发现，如果在模型中增加一个解释变量，那么模型的回归平方和随之增大，从而R2也随之增大。这就给人一个错觉：要使模型拟合得好，就必须增加解释变量。

所以，用来检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾向。

毫无疑问，R2越接近于1，模型的拟合优度越高。式中，（n-k-1）为残差平方和RSS的自由度，（n-1）为总离差平方和TSS的自由度。（教材P74）

在实际应用中，R2达到多大才算模型通过了检验？

答案是：没有绝对的标准。

模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。

如：H·钱纳里等：《发展的型式1950-1970》，P50-52，经济科学出版社。

而在第三版教材P72例3.2.2的中国内地城镇居民人均消费支出模型（二元回归）中，R2=0.975634，比如，第三版教材P53例2.6.1中的中国内地城镇居民人均消费支出模型（一元回归）中，R2=0.971419，可见，对于中国内地城镇居民的人均消费支出，二元回归比一元回归的效果更好。（注意：教材P75的表述有问题！）可决系数R2的简捷计算公式：（☆）其中对于一元线性回归：对于多元线性回归：*赤池信息准则和施瓦茨准则（教材P75）

为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:(2)施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）

这两准则均要求：仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时，才在原模型中增加该解释变量。

(1)赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）nnknSClnln+¢=ee二、方程显著性检验（教材P75）

TestingtheOverallSignificance方程的显著性检验：对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。

直观上看，拟合优度高，则解释变量对被解释变量的解释程度就高，可以推测模型总体线性关系成立；反之，就不成立。但这只是一个模糊的推测，不能给出一个在统计上严格的结论。这就要求进行方程的显著性检验。方程的显著性检验所应用的方法，是数理统计学中的假设检验。1.关于假设检验（教材P46）假设检验是统计推断的一个主要方面，它的基本任务是根据样本所提供的信息，对未知总体某些方面（如参数或分布类型）的假设作出合理的判断。假设检验的程序：先根据实际问题的要求提出一个论断，称为统计假设，记为H0；然后根据样本的有关信息，对H0的真伪进行判断，作出拒绝H0或接受H0的决策。假设孝检验额的基抱本思斗想是概率坐性质前的反侦证法。也就需是说独，为财了检齐验原叫假设H0是否蜡正确夺，先丑假定唉这个添假设傍是正巩确的抬，看妻由此痛能推户出什睛么结址果。如果慰导致篮一个哨不合份理的只结果利，则表童明“筹假设H0为正乘确”营是错膝误的嘱，即画原假熟设H0不正伍确，厉因此酸要拒绝原假讲设H0。如果盗没有除导致嘴一个白不合谜理现咸象的哀出现贵，则不掌能认脏为原铃假设H0不正搬确，马因此不能忠拒绝原假撕设H0。概率臣性质爸的反斤证法田的根化据是小概抬率事贿件原键理。该娃原理监认为“小杜概率奸事件县在一衣次试坝验中捡几乎点是不扬可能蕉发生枣的”。换句确话说庸，这宰里构讲造了毅一个小概持率事核件（搭“检轧验统灭计量悼的样介本值夹落入散拒绝舰域”蹲）。如灰果在咽一次御试验辞中该虚事件其就发摩生了址，就东违背婆了小计概率快事件醉原理渠，也紧就意筹味着班导致醒了一阴个不膀合理言的结亦果。显著剃性检内验的踪蝶步骤烤：(★难)（1）提僚出原赵假设H0和备耕择假寻设H1；（2）计查算检爷验统吗计量竖的样先本值中；（3）确肿定临在界值表和拒茄绝域孟；（4）下载结论财：是窗否拒虎绝H0。检验演模型摸中被宇解释因变量蚁与解魄释变僚量之速间的掘线性插关系朋在总坚体上央是否庆显著咽成立坝，也扶就是选要检样验模刺型2.方程讽显著真性的F检验（注幅意补充的内途容！企）（i鲁=1冤,2第,…炕,n婆）中的糊参数兰是否势显著匙不为0。（1）按照昆假设貌检验哪的原慢理与剑步骤狭，首煤先应摇提出假设：（注狐：教材P7技5有错你！）显然子，当H0成立图时，略即表谱示模叙型的拔线性铜关系不成锅立；当H1成立降时，控即表架示模渗型的袖线性州关系成立。（2）并且芦，RS谋S与ES米S相互键独立听。所以冈，统计津量直观递上看洞，回府归平代方和ES泥S是解筒释变何量整庙体对忙被解知释变辩量Y的线绸性作顶用的序结果斧，如馆果ES违S/得RS宣S的比互值较引大，拖则解明释变质量整齿体对Y的解丧释程帮度高俩，可衰以认制为总皆体存蝴在线丝式性关吨系；提反之求，总卫体可造能不俱存在钓线性岂关系恰。因此,可以伟通过碍该比科值的道大小鲜对总丘体线系性关页系进随行推厕断。该统允计量漏即为醋用于料方程污显著帽性检绣验的F统计例量。（4）（3）例在第语三版教材P7愚2例3.俭2.土2的中溜国内肢地城断镇居液民人码均消经费模厕型(二元够回归)中，k=肺2,龙n=看31脾,衣F=斗56秃0.袄56牲5。给定α=糖0.昼05盆,查得建Ｆ0.吧05（2,贸28调)=饭3.撒34。所以,该模丑型的宅线性迟关系留在95让%的置设信水旬平下太显著电成立聚。⒊关于屯拟合知优度旱检验御与方揉程显萝著性盆检验咳关系谊的讨饺论拟合患优度丹检验垦和方切程总阶体线勇性的忌显著属性检叠验是滋从不叙同原饺理出躁发的伏两类搜检验傅：前者是从朴已经计得到楚估计茂的模芬型出供发，井检验未它对晋样本片观测就值的向拟合步程度组；后者是从侍样本歇观测跟值出绝发检鞠验模略型总垫体线勇性关仔系的夫显著体性。但是蛮二者宗又是载关联劳的：F检验和拟合煤优度吧检验都是尝在总侦变差TS辩S分解弹为回静归平崭方和ES跪S与残泼差平出方和RS苏S的基飘础上湖构造做统计良量进毙行的方检验吗；模救型对扑样本潮观测柱值的熟拟合汽程度老高，长模型伐总体统线性虫关系似的显滴著性元就强铜；两个严检验异统计瞎量之狮间存遭在如盲下的旱数量楚关系洲：或可见卷，F与R2同向孤变化钞。当R2=0时，F=旱0；当R2越大舍时，F也越劲大；扑当R2=1时，F→∞。（注：教材P7缓6-睁77文字劲有错下！）多大韵才算织通过裹拟合矛优度掘检验榆？重新欢回到昌前面狼的问淡题：对于第三用版教叶材P7违2例3.坏2.办2，给住定显院著性筐水平=0栽.0男5时，伐查F分布电表，枝得到捏临界粒值F0.爬05(2猾,2幸8)盐=3问.3齿4，即桂是说毙，只蜘要F统计逝量的详值大奥于3.教34，模鞋型的魔线性峡关系廉在95呀%的水本平下笛就是舌显著励成立悟的。布将该尸数值话代入配（3.追3.紫8）式影，计切算得颤到对求应的谢调整吵后的辰可决盆系数贩为实际贵上，有许信多著候名的循模型朝，R2小于0.盼5，支惊持了艇重要革的结梁论。例：西蒙·库兹挑涅茨关于捏收入啊差距指的倒U型规页律、H·钱纳抓里的《发展隶的型翅式19追50疮-1澡97坑0》。如果颤我们倒首先婶得到调整文后的写可决眉系数为0.敌13瓜54，肯咸定认喝为该责模型轿的质仰量不喊高，轻殊不冶知它受的总繁体线所性关扶系的置信水平拴达到朋了95饱%。方程米显著倡性检话验（F检验赠）的泳步骤典（★发）（1）对高多元南线性在回归前模型萄的参闲数提骆出联馆合假烫设：（2）在睡原假下设H0的基具础上啄，根今据样爸本数漆据计患算F统计此量的裹样本机值：1.什么糠是变挠量的筛显著洒性检浴验？（教皮材P7瓣7）对于冠多元闯线性些回归烤模型蛛，方南程的谜总体银线性物关系既显著登成立荒，并知不能挡说明每个解释钥变量惨对被羞解释她变量股的影显响都仿是显帝著的冠。因此述，必须路对每个解释桃变量犯进行单显著购性检源验，希以决饮定是谈否作痕为解零释变鸽量被谜保留哈在模桑型中逃。如果雾某个端变量探对被跌解释杂变量昂的影烛响并驾不显川著，按应该哈将它叉剔除粒，以扇建立稼更为互简单暑的模税型。这就咱是变眠量显选著性责检验邮的任壶务。变量集显著纠性检转验针寸对的擦原假字设为H0：j=0（j=填0,县1,阳2,忌…,沿k），而朽应用燃最为洋普遍堡的是t检验。三、剧变量蜡显著烧性检睛验Te断st敞in趁g献th枝e懒In爷di茄vi淋du拴al刻S捧ig疲ni痰fi肃ca笼nc浴e2.变量形显著宗性的t检验（1）检验引统计辣量（t统计束量）的构永造：（对木教材P7奇7的补关充！常）（j=0,对1,剪2,腊…,k）于是因此季，可速以构栋造统瞧计量该统术计量坝即为泳用于器变量念显著延性检泰验的t统计脂量。（2）变量灵显著姨性的t检验（思创路）计算检验以统计住量tj的值【模型垒有几暖个解索释变仿量，廊就要牛计算楚几个tj】。（j=0,肥1,扒2,抢…,k）例：在教材P7垒2例3.策2.向2中国清内地饮城镇寸居民摧人均慢消费资支出的二元闭回归按模型中，译由Ev逐ie渡ws软件察计算摊得到礼：变量X1和X2各自衬的t统计截量样忙本值分别捡为tX1=7心.3炎78哄32铸0煌tX2=2区.2躺00听79旱1给定α=搏0.耍05吼,查得临界港值t0.辆02散5(2最8)胞=2潜.0刚48。由于tX1、tX2都大于主临界分值t0.集02它5(2禾8)，所以来，变巷量X1和X2在95换%的水艰平下都显著因。变量豪显著榜性检派验（t检验性）的舞步骤迟（★谷）（1）对宇总体训参数舅提出哲假设窄：（2）在欺原假扩设H0的基形础上凶，根侧据样葡本数付据计菠算t统计槐量的忌