2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西预赛试卷及答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区预选拔赛试题参考答案（考试时间：2022年5月15日9：00-11：30）一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分．）1．若复数满足，则的虚部为______．2．已知，．设，则的整数部分为______．3．设、是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是______．4．设为正整数，若对所有正整数成立，则______．5．设，且，．若，则______．6．若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为______．7．设是严格单调递增的函数，其反函数为．设，分别是方程和的解，则______．8．设，，，，直线与双曲线相交于，两点，若，则______．二、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）9．已知、、都是正数，且．求证：．10．设为正整数，，，令．求证：存在使得，．11．如图，已知、、、四点共圆，四边形是平行四边形，是与的交点，．证明：12．工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为千米，从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．0或1【详解】设i,则i.设，，，或1，故答案为：0或1.2．14996【详解】由，取，，将不等式相加可得，则的整数部分为14996．故答案为：14996．3．39【详解】由求得，根据抽屉原理，至多有6个元素，当时，得到的最大值为39．故答案为：39.4．3【详解】对所有正整数成立，令，，则在上单调递增，在上单调递减，由可知.故答案为：3.5．【详解】由可得，从而有，，．由求得．故答案为：3333.6．【详解】设长、宽、高分别为、、，且，则，，，．由得，故从而．因此，，，，，，所求最大值为．故答案为：120.7．2【详解】严格单调递增．且，故，，于是.故答案为：2.8．【详解】设直线方程为，，则，由可得，从而，解得由点在双曲线上可得，同理，由可得方程，故有，从而，．故答案为：.9．证明见解析【详解】设三角形的三边、、对应的内角分别为、、，则，所以，时取等号，由余弦定理可得，即.10．证明见解析【详解】首先证明，．否则，由可知存在正整数，使得，，从而.（1）若，则由得到，矛盾（2）若，则由得到，矛盾．下面证明，．假设存在，，则由可知存在正整数，使，.（3）若，则，矛盾．（4）若，则由可得，从而有或者，矛盾．因此，存在使得，.11．证明见解析【详解】如图，分别作与的中点、，连接、、、，由平行四边形可知，从而，，故，因此，由可知，，由、、、四点共圆可知，从而，则，因此，，于是，.12．千米；理由见解析．【详解】如图所示，是平行于边的中位线，为的中点，弧是以为圆心、为半径的一段圆弧，交弧于点.则从点出发的最短路线为，其长为千米，理由如下：（1）路线是最短的，弧是以为圆心，为半径的一段圆弧．工兵所行路线必须经过弧与弧上的点，设为弧上除外的任一点，连接交于点．由可知路线是最短的．（2）工兵沿路线行走可以探测完整个区域，过