江苏省扬州高三数学上学期开学考试试题文

江苏省扬州高三数学上学期开学考试一试题文江苏省扬州高三数学上学期开学考试一试题文江苏省扬州高三数学上学期开学考试一试题文扬州中学高三8月开学考试数学（文科）试题（全卷满分160分，考试时间120分钟）2015．8一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应地址）已知会集已知命题

A{x||x|10}，则AIB=▲．2},B{x|x1p:x(1,),log2x0，则p为▲．3.若复数zai（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a▲.irrrr4.(3,4)▲.设向量a(1,x),b，若a//b，则实数x的值为5.曲线yxcosx在点(,2)处的切线方程为▲．26.在平面直角坐标系xOy中，直线3x4y50与圆x2y24订交于A、B两点，则弦AB的长等于▲.7.记不等式x2＋x－6＜0的解集为会集A，函数y＝lg(x－a)的定义域为会集B．若“x∈A”是“x∈”的充分条件，则实数a的取值范围为▲．B8.若函数f(x)2x1是奇函数，则使（fx）3建立的x的取值范围为▲.2xa9.已知为第二象限角，sincos3，则cos2＝▲.310.若函数f(x)2xa(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在[m,)上单调递加，则实数m的最小值为▲.2uuuruuuruuuruuur11.在菱形ABCD中，AB23,B,BC3BE,DA3DF,3uuuruuur则EFAC▲．12.已知函数f(x)x1,xR，则不等式f(x22x)f(3x4)的解集为x113.已知f(x)是定义在[2,2]上的奇函数，当x(0,2]时，f(x)2xg(x)x22xm，若是关于任意x1[2,2]，存在x2[2,2]，使得g(x2)实数m的取值范围为▲.14.当x[2,1]时，不等式ax3x24x30恒建立，则实数a的取值范围

▲.1，函数f(x1)，则为▲二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（本小题满分14分）已知tan()1；42（1）求tan；（2）求sin2cos2．1cos2（本小题满分14分）已知命题p:关于实数x的方程x2mx10有两个不等的负根；命题q:关于实数x的方程4x24(m2)x10无实根．（1）若命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．（2）若关于x的不等式(xm)(xm5)0(mR)的解集为M；命题q为真命题时，m的取值会集为N，当MUNM时，求实数m的取值范围．（本小题满分14分）urrurr已知向量msin2x,2cosx,n3,cosxxR，函数fxmn1.（1）求fx的最小正周期；（2）在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，若fA1,b1,ABC的面积为3，2求a.（本小题满分16分）右图为某库房一侧墙面的表示图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调治库房内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上)．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已2知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m）．（1）按以下要求建立函数关系式：(i)设∠POF＝θ(rad)，将S表示成θ的函数；(ii)设MN＝x(m)，将S表示成x的函数；（2）请选择上面的某一种方案来求：当MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？PEFNHGBAMODC(第18题图)（本小题满分16分）已知函数f(x)1x1x，（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）设F(x)af2(x)2f(x)（其中a为参数），求F(x)的最大值g(a)。220．(本小题满分16分)设函数f(x)lnx，g(x)m(xn)(m0).x1（1）当m1时，函数yf(x)与yg(x)在x1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数yf(x)g(x)在定义域内不只一，求mn的取值范围；（3）可否存在实数a,使得f(2a)f(eax)f(x)0对任意正实数x恒建立？若存在，x2a求出满足条件的实数a；若不存在，请说明原由.高三数学（文科）答案2015年8月27日1、x|1x22.x(1,),log2x03.－14.42xy05.326.237.(－∞，－3]8.（0,1）9．510.1311.－1212.(1,2)13.5,214.[6,2]tantan1tan1115.解：（1）tan4tan41tan2.1tantan34（2）sin2cos22sincoscos22tan151cos22cos22616.解：（1）若方程x2mx10有两不等的负根，则mm240解得m20即命题p:m2，10无实根，则＝16(m－2)－16＝16(m－4m＋3)＜0若方程4x24(m2)x22解得：1＜m＜3.即命题由题意知，命题p、q真.∴m2或m1或m3

:1＜m＜3.应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为m2解得：m≥3或1＜m≤2.1m3（2）（2）∵MUNM∴NMm51M(m5,m),N(1,3)，解得：3m6．m317解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．即所求函数关系是＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝7．S204分因为MN＝x，OM＝3.5，因此ON＝x＋3.5．2223512在Rt△ONF中，NF＝OF－ON＝100－(x＋3.5)＝4－7x－x．在矩形EFGH中，EF＝2NF＝351－28x－4x2，FG＝MN＝x，故S＝EF×FG＝x351－28x－4x2．即所求函数关系是S＝x351－28x－4x2，0＜x＜6.5．8分2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，则f′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．10分由f′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝45，或cosθ＝－58．4因为0＜θ＜θ0，因此cosθ＞cosθ0，因此cosθ＝．4设cosα＝5，且α为锐角，则当θ∈(0，α)时，f′(θ)＞0，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f′(θ)0，f(θ)减，因此当

θ＝α，即

4cosθ＝5时，f(θ)取到最大值，此时

S有最大值．即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大．

14

分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为则f

S＝x2(351－28x－4x2)，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．10分9

9

13因为当

0＜x＜2时

，f

′(x)＞0，f(x)单调递加，当

2＜x＜

2时，f

′(x)＜0，f(x)单调递减，9因此当

x＝2时，f(x)取到最大值，此时

S有最大值．即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大．1419．解：(1)由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,因此定义域为[

分1,1]2分又f(x)2221x2[2,4],由f(x)≥0得值域为[2,2]6分（2）因为F(x)af2(x)2f(x)a1x21x1x21t2令tf(x)1x1x，则1x21，1t21at22∴F(x)m(t)a(1)+t=ta,t[2,2]22由题意知g(a)即为函数m(t)1at2ta,t[2,2]的最大值。121at2注意到直线t是抛物线m(t)ta的。对称轴a2当a0时，m(t)t，因此g(a)2当a0时，m(t)1at2ta,t[2,2]递加，因此g(a)m(2)a2当a0时，216分20．解：（1）当m1时，g(x)1n，yg(x)在x1处的切线斜率k1n，(x1)24由f(x)1，yf(x)在x1处的切线斜率k1，1n11，x45.4分（2）易知函数yf(x)g(x)的定义域为(0,)，1m(1n)x22m(1n)x1x2m(1n)1又yf(x)g(x)x，x(x1)2(x1)2x(x1)2由题意，得x2m(1n)1的最小值为负，m(1n)4（注：结合函数xn))2yx22m(1n)x1图象同样可以获取），(m(1m(1n)4，4m(1n)4，mn3（注：结合消元利用基本不等式也可）.9分（3）令(x)=f(2a)f(eax)f(x)axln2aaxlnxlnxln2a，其中x0,a0x2a则(x)aln2aalnxa1(x)aln2aalnxa1，设xa1ax1x(x)0xx2x2(x)在(0,)单调递减，(x)0在区间(0,)必存在实根，不如设(x0)0即(x0)aln2aalnx0a10，可得lnx01ln2a1（*）x0ax0(x)在区间(0,x0)上单调递加，在(x0,)上单调递减，因此(x)max(x0)，(x0)(ax01)ln2a(ax01)lnx0，代入（*）式得(x0)ax012ax0依照题意(x0)ax0120恒建立.ax0又依照基本不等式,ax012,当且仅当ax01时,等式建立ax0ax0因此ax012,ax01x01.代入（*）式得,ln1ln2a,即ax0aa12a,a216分(以下解法供参照，请酌情给分)a2解法2：(x)axln2aaxlnxlnxln2a(ax1)(ln2alnx)，其中x0,a02a依照条件f()x即(ax1)(ln2aax10ln2alnxa0

f(eax)f(x)0对任意正数x恒建立2alnx)0对任意正数x恒建立ax100，解得110且ln2alnxx2a且2ax，a0aa即1x2a时上述