专题18全等三角线中的辅助线做法及常见题型之互补旋转备战2021中考数学解题方法系统训练全国通用

专题18：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之互补型旋Rt△ABC中，AB=AC，点DBC中点．∠MDN=90°，∠MDND旋转，DM、DNAB、AC交于E、F 2BC，② 1

，③S四边形AEDFAD·EF，④AD≥EF，⑤ADEF 4 A．1 B．2 C．3 D．4如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为 如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为 1MNADAB上，且BMN90，当AMN30AB2时，求线AM的长；2EFABAC上，且EDF90BEAF3MADNAC上，且BMN90ABAN

2AM如图①，在正方形ABCD中，点E，FDC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A90°得到△ABGABAD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∵即 ∴ ∴ ＝EF，故2如图，△ABC4的等边三角形，点DBC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDFAB、AC交于点E、F．ABCABBC1ABC90，把一块含30°DEF的直角顶点DAC的中点上（DFDEDEFD点按逆时DEABMDFBCNDMDNABDEMBCDFNDMDN.101，四边形ABCD中，BD⊥AD，EBD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED已知AB＝10，AD＝622，FAD上一点，AF＝DEBFBFAE于G，过GGH⊥AB222

11．一位同学拿了两块45三角尺MNKACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点MACBABACBC4如图1所示，两三角尺的部分为ACM，则部分的面积 ，周长 将如图1所示中的MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到如图2所示，此时部分的面积 如果将MNK绕M旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重 在如图3所示情况下，若AD1，求出 1E、FABCDBC，CD上，∠EAF=45°EF，EF=BE+DF，试说明理由．△ABEA90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（参考同学思考问题的方法，解决下列问题：3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°E，FBC，CD上，∠EAF=45° 4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=ACD、EBC上，且∠DAE=45°BD=1，EC=2，求DE的长．解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点DBC∴△EDA≌△FDC（ASA∴BE+CF=BE+在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 22 22∴ 1 1AEAF11ABAC=1bab1a2=1a2b20

4

4 ∴

1

4如图，过点EEI⊥ADIFFG⊥ADGFFH⊥BCH，ADEF∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGFS四边形AEDF

1ADDC1AD2AD2ADEF2222．2534由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．ABCBQABQCBPAB在△APQAQ29AP216PQ225S四边形APBQ

BPQSAPQ

3521342536 2534根据题意作图，连接O1BO1CO1BFO1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关解：连接O1B、O1CBO1FCO1GABCDO1BFO1CG中BO FBO △O1BF△O1CG(ASA)O、O两个正方形阴影部分的面积是1 414

S阴影部

12

正方

224．2可将△OBCO90°，所得的图形与△OACBC+AC等于等腰三CD.将△OBC绕OB落在ACD在四边形OACB22BC+AC32、、D⊥yAB.5BAFAFDE，连接CF、CDCAFCEDSAS证明△AFC≌△EDC，可得CFCDACFECD，进一步即可求得FCD120，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论．BAFAFDE，连接CF、CDCADCED360180CAFCEDACEC，AFEDCFCD，CHDFFHDH1DF1DEAD，HCD1FCD60 tanHCDDH 3DH

3CHDEAD2DH23CH22223

AM 2 ，求出∠MBD＝30°，根2MME∥BCABE，证明△BME≌△AMN

ABAB2ADBDDC BMD1809030BM2DM2323由勾股定理得，BM2DM2BD2，即(2DM)2DM2(2)2，解得，23232AMADDM 2证明：ADBCEDF90BDEADF，在BDE和ADF中，B{DB BDEBDE≌ADF(ASA)BEAFMMEBCABEAMEAE

2AB，EMEMA∵AME90，BMN90BMEAMN，在BME和AMN中，E{ME BMEBEANABANABBEAE

2AM（1）SAS得出△GAF≌△EAF，假设∠BADm，将△ADEA顺时针旋转，m°得到△ABGABAD重合，由旋∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，G，B，F在同一条直线上．∵∠𝐸𝐴𝐹

12∴∠2+∠3=∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐸𝐴𝐹=𝑚°

1𝑚°2

12∵∴∠1＋∠3＝12∵在△AGF和△AEF{∠𝐺𝐴𝐹＝∠𝐸𝐴𝐹∴△GAF≌△EAF（SAS∴∴△GAF≌△EAF8（1）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则 1 2

∵△ABC4DBC过点DDM⊥ABM，作DN⊥AC于 12

，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．（2）ASADMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC面积的一半；（1）∵AB=BC，∠ABC=90°DAC∴DM=DN（5分由（1）本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用ASA求三角形全等（手拉手模型，还运用了全等三210（1）2 （2）2AB2 AB2222222

22

（G+G22AB2102AB2102AERt△ADERt△BECEDCE∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL22 22∴四边形AECF22

2222

2222

（AG+EG22

2230°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性251（1）4， （2）4，8（3）4（4）251ACBC4ACB90ABMABAMMC，求出AM，MC，AC的值即可求出周长；2易 部分是正方形，边长为1AC，面积为1AC2，周长为 3MAC、BCMH、MEHERtMHDRtMEG，则阴影部分的CEMH的面积4MMEBCEMHACH，根据DMHEMHMHMEDM

RtEMGHDGECEADADDF

ACBC4，ACB90AC242AC242MABM

422AM 2ACM45AMMC 2222422AMMCAC2

444222故答案为4，4 22

1421444 周长为248．4，8．3过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂H、M是△ABCABACBC4MMH1BC2ME1AC2MHME又NMKHME90NMHHMK90，EMGHMK90HMDEMG，在MHD和MEGHMDMH DHMMHD

MEGASACEMHCEMHMEMH14144 4；4．4M作MEBCEMHACMECHMHCEA45AMH45AHMHAHCE在 和 中DMHMH DHMRtDHM≌GEDHAHDHCEGEADAD15DM 15DMGCCECDDM