北京大学附属学校2023届高一实验班选拔考试数学试卷含答案

PAGE北京大学附属学校2023届高一实验班选拔考试数学（考试时间：90分钟满分：100分）友情提示：请将答案填于答题卷中，填于试卷上不得分。一、选择题（每小题3分，共5题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.是2的相反数，是9的算术平方根，则()A.5B.-5C.1D.2.设，，，则的大小关系是()A.B.C.D.3.从分别写有数字1、2、3、4、5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是()A.B.C.D.4.设，，则的值为()A.B.C.D.5.已知，则的最大值是()A.2023B.2023C.2023D.2023二、填空题（每小题3分，共10小题）6.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且,则；7.已知关于的不等式的解为，则不等式的解为；8.二次函数的图像与轴正方向交于两点，与轴正方向交于点，已知，，则；9.已知函数，则函数的最大值是；10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是；11.在数学活动中，某位同学为了求的值（结果用表示），设计如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形计算=；12.如图，半径为的四个小圆两两外切，并都内切于半径为的圆内，则=；第10题第11题第12题13.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是；14.在数式变换中有：（其中为正整数），某位同学利用这个变换关系处理以下问题：；现模仿该同学的处理方法，则下列式子的值：；15.定义：表示中的最小值，则的最大值是.三、解答题（共6小题，共55分）16．（本题6分）已知一棵树AB直立于地面上，某次台风来袭将该树刮断，如图所示，被刮倾斜15o后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D，量得树干的倾斜角米，求这棵树AB原来的高度是多少？17．（本题8分）（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知，求代数式的值.18．（本题8分）在直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴的正半轴分别交于两点，且使得的面积值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面积的最小值.19．（本题10分）如图，点D是上的一点，是外接圆上一点，使得，且，（点为外接圆的圆心）.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求外接圆的半径.20.（本题10分）如图，由条直线将平面分成若干个边长为1的正方形，点O，A，B均在正方形格子的顶点（格点）处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距格，点O与点B位于同一竖直线上，相距格，且，互质.（Ⅰ）求证：边上的格点个数为++1；（Ⅱ）若，在中（包括三条边）共有67个格点，求，的值.21．（本题13分）定义为函数的特征数，以特征数为的函数图象经过两点.（Ⅰ）若都是整数，且，求的值；（Ⅱ）若特征数为的函数图象与x轴的交点为A,B（其中A,B两点的横坐标都为整数），与y轴的交点为C，求的面积.龙岩一中2023届高一实验班选拔考试数学（答题卷）一、选择题（每小题3分，共5题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345答案二、填空题（每小题3分，共10小题）6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答题（共6小题，共55分）16．（本题6分）已知一棵树AB直立于地面上，某次台风来袭将该树刮断，如图所示，被刮倾斜15o后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D，量得树干的倾斜角米，求这棵树AB原来的高度是多少？17．（本题8分）（Ⅰ）化简：；（Ⅱ）已知，求代数式的值.18．（本题8分）在直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴的正半轴分别交于两点，且使得的面积值等于.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）求面积的最小值.19．（本题10分）如图，点D是上的一点，是外接圆上一点，使得，且，（点为外接圆的圆心）.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求外接圆的半径.20.（本题10分）如图，由条直线将平面分成若干个边长为1的正方形，点O，A，B均在正方形格子的顶点（格点）处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距格，点O与点B位于同一竖直线上，相距格，且，互质.（Ⅰ）求证：边上的格点个数为++1；（Ⅱ）若，在中（包括三条边）共有67个格点，求，的值.21．（本题13分）定义为函数的特征数，以特征数为的函数图象经过两点.（Ⅰ）若都是整数，且，求的值；（Ⅱ）若特征数为的函数图象与x轴的交点为A,B（其中A,B两点的横坐标都为整数），与y轴的交点为C，求的面积.龙岩一中2023届高一实验班选拔考试数学参考答案一、选择题（每小题3分，共5题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345答案CDBAD二、填空题（每小题3分，共10小题）6．66；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．4．备注：第12题答案也可写成.三、解答题（共6小题，共55分）16．（本题6分）解：如图，过A作AE⊥CD,垂足为E，由题意知：∠DAC=75o，因为∠ADC=60o，在Rt△AED中，,所以DE=1米，……………1分,所以米，……………2分∠EAD=30o，在Rt△AEC中，∠CAE=45o=∠C，所以CE=,……………4分所以,所以米，……………5分所以AB=.……………6分17．（本题8分）解：（Ⅰ）原式=……………3分（Ⅱ）利用换元法，令，所以……8分18．（本题8分）解：（Ⅰ）令，得，，得所以两点的坐标分别为，于是的面积为由题意，有解得……………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立.所以，面积的最小值为……………8分19．（本题10分）解：（Ⅰ）证明：因为所以，∽，所以……………4分（Ⅱ）如图，连接并延长交圆于点E，连接AE，由（Ⅰ）可知∽,所以，，因为，，所以……………10分20.（本题10分）（Ⅰ）证明：由题意可得边OA,OB上的格点共个，………1分接下来处理AB边上的格点，因为互质，假设线段上存在某一点（恰为格点且不在A,B两点处），可设点到点的水平距离为，竖直距离为（，均为整数），则，即，………2分由互质,得是的倍数，它与矛盾………4分因此，假设不正确，即线段上（除两点外）不存在格点，所以边上的格点个数为++1.………5分（Ⅱ）以，为边作一个矩形，则在中格点的个数与中格点的个数相同，且只有两点是公共的，而矩形中格点的个数为…………6分因此，，，由，得，…………9分即.…………10分21．（本题13分）解：（Ⅰ）由题意得函数，因该函数图象经过，得整理得，……………………2分由知解得，……………4分又为整数，所以，即.…………………5分（Ⅱ）设A,B两点的横坐标为，且，由题意可得，为方程的两根，………