北大附属学校2023届高一实验班选拔考试(数学)篇一

PAGE北大附属学校2023届高一实验班选拔考试数学（考试时间：90分钟满分：100分）友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则的值为（）A． B． C．1 D．2．有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是（）A． B． C． D．3．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）ABCD4．方程组的解的个数为（）A． B． C． D．5．如果关于的方程的两个实数根分别为，那么的值为（）A． B． C． D．6．已知锐角的顶点到垂心(三角形三边上高线的交点称为垂心)的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（）A． B． C． D．7．对于一个正整数，如果其顺着数和倒着数都是一样的，则称此数为“回文数”（如1、11、121都是回文数，而110则不是回文数）.将所有回文数从小到大排成一列：1,2，···，9,11,22，···，则第2023个回文数是（）A．1014101B．1015101C．1016101D．10171018．若四个互不相等的正实数，，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．对于任意实数定义，已知，则实数的值是.第11题图CDABE10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以线段上一点为圆心作圆与均相切，则点的坐标为．第11题图CDABE11．如图，在梯形中，，，，．将该梯形折叠，点恰好与点重合，为折痕，那么．yxOAB①②③④4812164第12题图12．如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、yxOAB①②③④4812164第12题图13．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为____________.14．正五边形广场ABCDE的周长为2023米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过三、解答题（本大题共6小题，共52分）15．（1）（本小题4分）计算：（2）（本小题4分）先化简，再求值：；其中BACMBACMNPEF如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．17．（本小题8分）对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：）．（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式．（不必证明）（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18．（本小题8分）已知是满足的整数，方程有两个不等的实根和，设，，，试比较的大小，并说明理由．19．（本小题8分）预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲、乙两商品每个均只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求、的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求、的值．A2BC铅垂高水平宽ha图20A2BC铅垂高水平宽ha图20-1如图20-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”()，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高()”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图20-2，抛物线顶点坐标为点,交x轴于点，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；（3）在轴下方的抛物线上是否存在点P（不与点重合），使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．CDBCDBxxyAOAO 图20-2北大附属学校2023届高一实验班选拔考试数学答题卷一、选择题（每小题3分，共8题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案二、填空题（每小题4分，共6小题）9．；10．；11．；12．；13．；14．；三、解答题（共6小题，共52分）15．(1)（本小题4分）计算：(2)（本小题4分）先化简，再求值：；其中16．（本小题8分）如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BABACMNPEF17．（本小题8分）对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：）．（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式．（不必证明）（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18．（本小题8分）已知是满足的整数，方程有两个不等的实根和，设，，，试比较的大小，并说明理由．19．（本小题8分）预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲、乙两商品每个均只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求、的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求、的值A2BC铅垂高水平宽ha图20A2BC铅垂高水平宽ha图20-1如图20-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”()，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高()”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图20-2，抛物线顶点坐标为点,交x轴于点，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第三象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；（3）在轴下方的抛物线上是否存在点P（不与点重合），使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.CDBCDBxxyAOAO 图20-2北大附属学校2023届高一实验班选拔考试数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）14CBBA58DCCA二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．4或10．11．12．13．14．104三、解答题（本大题共6小题，共52分）15．(1)本小题4分）解:原式………………4分(2)（本小题4分）解：………………2分…………3分当时，原式=……………4分16．（本小题8分)BACMNPEF（图1）解：（1）如图1，连结BACMNPEF（图1）∴△ABF∽△NPF，………………2分．………………3分∴BF=2FP．………………4分（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则BACMNPEF（图2）GMG∥EF，BACMNPEF（图2）G∴S△NEF=S△MNG………………6分=×S△AMN………………7分=××S△ABC=S．………………8分17．（本小题8分）解：（1）如：，等等（只要写出一个符合条件的函数解析式）………………2分（2）假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线当时，当时，由整点抛物线定义知：为整数，为整数，………………4分必为整数．………………5分又当时，是整数，必为整数，从而应为的整数倍，………………7分∴∴不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线..…8分18．（本小题8分）解：由题意：且，………………1分∴………………2分………………3分………………4分……………5分又……………6分∵………………7分∴………………8分19．（本小题8分）解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为元和元，则原计划是，①………………1分由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得．②………………2分再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得，③………………3分由①、②、③得④⑤ ………………5分④⑤④－⑤×2并化简，得．………………6分（2）依题意，有205＜＜210及，54＜＜，………………7分由于是整数，得，从而得．………………8分20．（本小题12分）解：（1）设抛物线的解析式为.把代入解析式，解得.∴抛物线的表达式为……………1分∴点的坐标为.……………2分设直线的表达式为把，代入，得解得.∴直线的表达式为……………3分（2）因为点坐标为，∴当时，.