中考数学专题复习：二次函数与相似三角形存在性问题

试卷第=page77页，共=sectionpages88页试卷第=page88页，共=sectionpages88页中考数学专题复习：二次函数与相似三角形存在性问题解题步骤：找对角分两类进行讨论例题1．如图1，已知二次函数的图像经过点点和点，连接，线段上有一动点P，过点P作的平行线交直线于点D，交抛物线于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）移动点P，求线段的最大值；（3）如图2，过点E作y轴的平行线交于点F，连接，若以点C、D、P为顶点的三角形和是相似三角形，求此时点P坐标．2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式；(2)动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值；(3)当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C，连接、．(1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值；(3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线．(1)求该二次函数表达式；(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．6．如图①，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．(1)求的面积．(2)点M在边上以每秒1个单位的速度从点O向点B运动，点N在边上以每秒个单位得速度从点B向点C运动，两个点同时开始运动，同时停止．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形与相似？(3)如图②，点P为抛物线上的动点，点Q为对称轴上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P运动到什么位置时，的面积最大，求此时P点坐标及面积的最大值；(3)在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，二次函数经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，直线BP与抛物线的对称轴相交于点D，与y轴相交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)设点A关于直线PB的对称点为，当点落在抛物线的对称轴上时，求直线的解析式；(3)如图2，连接，，是否在x轴上存在一点Q，使以B，Q，P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．综合与探究如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线．(1)求二次函数的解析式．(2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积．(3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，并且，D是抛物线的一个动点，轴于点F，交直线于点E．(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式；(2)在点D运动的过程中，试求使以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标；(3)连接，在点D运动的过程中，抛物线上是否存在点D，使得以点D，C，E为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，请说明理由．11．已知：二次函数的图像与轴交于，与轴交于点，(1)求该二次函数的关系式；(2)求点的坐标，并判断的形状，说明理由；(3)点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A为，与y轴负半轴交于点，其对称轴是直线．(1)求二次函数的解析式；(2)圆为的外接圆，点E是延长线上一点，的平分线交圆于点D，连接，求的面积；(3)在（2）的条件下，y轴上是否存在点P，使得以P，C，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．13．已知二次函数的图象经过点．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages4141页答案第=page4040页，共=sectionpages4141页参考答案：1．（1）二次函数的解析式为：；（2）ED最大值为；（3）点P坐标为（0，0）或（，0）．【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先待定系数法求BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，证明△DFG～△BCO，再证△EDG∽△CAO，则DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），然后表示出EF，结合最值的性质，即可得到答案；（3）△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，易得P与O重合，点P坐标为（0，0）；②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中．，证明△OCB∽△MBQ，求出点Q坐标为（2，），用待定系数法求直线CQ的解析式为：y=+2，当y=0时，x=，即得点P坐标为（，0）．【详解】解：（1）把点A（-1，0）点B（3，0）和点C（0，2）代入二次函数y=ax2+bx+c，得，，解得，，∴二次函数的解析式为：；（2）设BC的函数解析式为：y=mx+n，把点C（0，2）和B（3，0）代入，得，，解得，，∴BC的函数解析式为：，过点E作EF∥y轴交BC于点F，过点D作DG⊥EF于点G，∴∠GFD=∠BCO，∵∠BOC=∠DGF，∴△DFG～△BCO，∴，∵AC∥EP，DG∥AO，∴∠GDE=∠OAC，∵∠COA=∠EGD=90°，∴△EDG∽△CAO，∴，设GF=2k，则DG=3k，EG=6k，∴ED=，∴ED=EF，要线段DE的最大，只要求EF的最大值．设点E坐标为（e，），则点F坐标为（e，），∴EF===；当时，EF最大=，∴ED最大=EF=；（3）∵△CPD与△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分两种情况讨论：①△DPC∽△DEF，∴点C与点F对应，∠PCD=∠EFD，∴CP∥EF，即P与O重合，∴点P坐标为（0，0）；②△DCP∽△DEF，∴点E与点C重合，∴∠DEF=∠PCD，∵∠DEF=∠ACO，∴∠DCP=∠ACO，∴tan∠DCP=tan∠ACO=；过点B作BQ⊥CB交CP于点Q，过点Q作QM⊥BO于点M，在Rt△CBQ中，，∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠MBQ=∠OCB，∵∠COB=∠BMQ，∴△OCB∽△MBQ，∴，∴BM=OC=1，MQ=BO=，∴点Q坐标为（2，），设CQ的关系为：，解得：，∴直线CQ的解析式为：，当y=0时，，∴点P坐标为（，0），综上，点P坐标为（0，0）或（，0）；【点睛】本题考查了二次函数、一次函数待定系数法求关系式，三角形相似的判定与性质的综合运用，解题关键是熟练掌握所学的知识，熟练运用化斜为直的解题策略，2．(1)(2)(3)存在，的坐标为或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由，即可求解；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：∵直线的表达式为，当时，得：，∴，，当时，得：，解得：，∴，，∵抛物线交轴于，两点，交轴于点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，设，∴，，，∴，∵抛物线交轴于，两点，当时，得：，解得：，，∴，，∵，又∵，即抛物线的图像开口向下，∴当时，有最大值，最大值为．（3）存在，理由：∵，∴，又∵，，∴，，，∴，∴，如图所示，连接，①，，∴，，，∴，又∵，∴，∴当点的坐标为时，；过点作，交轴与点，∵为直角三角形，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴；过点作，交轴与点，

∵为直角三角形，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴，此时点在轴上，不符合题意，舍去．综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似．【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键．3．(1)；(2)，；(3)存在，，，．【分析】（1）利用待定系数法，分别将、两点坐标代入二次函数表达式，列方程组求解即可；（2）利用配方法将二次函数一般式化简成顶点式，即可得顶点坐标；连接交轴于点，过点作于点，利用面积法列方程可求的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求的值即可；（3）利用相似三角形的性质可得：是直角三角形，且两条直角边之比为，可分三种情况，即分别假设三个角为直角，进行求解即可．【详解】（1）解：将、代入，得二次函数表达式为；（2）由题意得，二次函数的顶点式为，二次函数的图像的顶点的坐标为．设直线解析式为：，将、代入得：，解得：，的解析式为：，设直线与y轴交于E，过点C作点P，当时，，点的坐标为，即，点是二次函数与轴的交点，当时，，，即，，在中，，解得：，在中，，．（3）存在与相似，是直角三角形，且，，是直角三角形，且两直角边之比为1:2；分情况讨论如下：①当时：．时，设，，，则即解得：在中，，即，解方程得：，（舍），过点作轴交轴于点即解得：，，点的坐标为；．当时，同理可得：，，在中，，即，解方程得：，（此时点与点重合，不合题意，故舍去），过点作轴交轴于点即解得：，点的坐标为；②当时：过点作轴、轴于点、，由题意可得：设，则，，即，，解得即，，即，解得：点的坐标为③当时：由题意得：，即得，点的坐标为此时点在线段之外，故此种情况不满足题意，舍去点N的坐标为：，，．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，锐角三角函数以及相似三角形的存在性问题，要注意分类讨论，避免遗漏．4．(1)y＝﹣x2﹣x+2(2)存在，点M（0，2）或（0，）(3)存在，（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，0）或（﹣，2+）或（﹣，2﹣）【分析】（1）分别求出点A，点C的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；（2）以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可；（3）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可．【详解】（1）对于，当时，，即点，令，则，即点.∵抛物线的对称轴为直线，则点，∴抛物线与x轴的另一个交点为设二次函数表达式为：，∵抛物线过点，则，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）存在，理由：在中，，，则，∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，∴或，∴或，即或，解得：或2，即点或；（3）存在，理由：根据题意对称轴，设点，由点A、C、P的坐标得：，，，当时，则，解得：，即点P的坐标为：或；当时，则，解得：，即点；当时，则，解得：，即点P的坐标为：或．综上，点P的坐标为：或或或或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键．5．(1)；(2)27；(3)存在，点P的坐标为或．【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线，进而得到，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，求出，进而求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点G的坐标，最后根据，即可求出的面积最大值；（3）①过点E作轴，证明，根据点E坐标即可得到点P坐标；②过点E作交轴于点P，证明，得到，再根据坐标的距离公式求出、的长，得到的长，进而得出的长，即可得到点P坐标．【详解】（1）设抛物线解析式为，二次函数的图象经过、、，，解得：，抛物线解析式为（2）解：直线经过点，，，直线，直线与抛物线交于点E，联立，解得：或（舍），，为定值，点M到直线决定的面积，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，由平移的性质可知，直线，联立，整理得：，直线与抛物线仅有一个交点，解得：，，解得：，当时，，，此时的面积最大，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，设直线与轴交于点G，令，则，解得：，，的面积最大值为27；（3）解：存在，由（2）可知，直线的解析式为，，当时，，，，①如图，过点E作轴于点P，，，，，；②如图，过点E作交轴于点P，，，，，，，，，，，，，，，综上所述，存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定和性质，坐标的距离公式等知识，解题过程注意分类讨论，题目难度较大．6．(1)6(2)或(3)存在，，，【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得、、的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据两角相等的两个三角形相似，可得与的关系，根据相似三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得①或②；根据，，可得点坐标；根据，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．【详解】（1）解：当时，，即，当时，，解得，，即，；；（2）若，如图1，，，，，，即．∴，解得；若时，如图2，，，，，，即，，解得；综上所述：或；（3）如图3，，若为对角线，即，，，；若为边，即，，设，，．，即，化简，得．解得或．当时，，即；当时，，即；综上所述：，，．【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系得出、、的坐标是解题关键；（2）利用相似三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；（3）利用平行四边形的对边相等得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．7．(1)(2)当P点坐标为时，的最大面积为8；(3)存在，点的坐标为或或或．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线解析式，设，，利用三角形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可；（3）设，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵，则设抛物线解析式为，把A、B两点坐标代入可得，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：∵点P在抛物线上，∴可设，过P作轴于点E，交直线于点F，如图，∵，，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，∴，∴，∴，∴当时，最大值为8，此时，∴当P点坐标为时，的最大面积为8；（3）解：设，∵，∴分和两种情况，当时，∴，即，解得，∴点的坐标为或；当时，∴，即，解得，∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的性质，解题的关键是方程思想的应用．8．(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）设与交于点M，根据对称的性质求出点的坐标，可得M的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；（3）可得，以B，Q，P为顶点的三角形与相似分三种情况：①当时；②当时；③当时，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数经过点和点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）设与BP交于点M，连接，∵点A关于直线PB的对称点为，∴，∵点和点，∴对称轴为直线，设的坐标为，∵点落在抛物线的对称轴上，∴，∴，∴，设直线BM的解析式为y=kx+m，∴，解得，∴直线的解析式为；（3）∵抛物线的解析式为：与y轴交于点C，∴，∵点、点，∴，∴C是等腰三角形，以B，Q，P为顶点的三角形与相似分三种情况：①当P时，∵，∴，，∵点P为抛物线上一动点，点Q在x轴上，∴点P与点C重合，点Q与点A重合，∴点P的坐标为；②当时，∵，∴，，由抛物线的对称性得、交于对称轴上一点N，∴点C、P关于对称轴对称，∴点P的坐标为；③当时，∵，∴，，由抛物线的对称性得、交于对称轴上一点N，∴点C、P关于对称轴对称，∴点P的坐标为；综上所述，P的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用对称的性质求出点的坐标；（3）分①当时；②当时；③当时三种情况，利用相似三角形的性质求解．9．(1)(2)；菱形的面积为(3)存在，点坐标为或，理由见详解【分析】（1）根据二次函数的对称轴，点，运用待定系数法即可求解；（2）如图所示（见详解），根据菱形的性质，可得，根据对角线相互平分，可求出交点的坐标，由此可知点的横坐标，根据点在二次函数图像上，即可求解；（3）根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①当点与点重合时；②当点不与点重合，由此即可求解．【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，，∴，则，∵图像经过轴上的点，∴，解得，，则，∴二次函数的解析式为．（2）解：二次函数的解析式为，，如图所示，连接交轴于，∵平行四边形为菱形，∴，，且，∴的横坐标为，且点E位于抛物线第四象限内的图像上，∴当时，，即，∴，点在第一象限，∴点的坐标为，即，∴，，∴，即菱形的面积为．（3）解：根据题意得，，，∴，，且，则，①当点与点重合时，如图所示，∵，∴；②当点不与点重合时，如图所示，∵，∴，，∴，∴，即，过点作轴，则，且是直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵点在第一象限，∴点的坐标为，综上所述，使得与相似，点坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．(1)，(2)D的坐标为或或；(3)存在，或．【分析】（1）先求得，，推出，利用待定系数法可求得二次函数的解析式，再利用待定系数法即可求得所在直线的解析式；（2）只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形，设点D的横坐标为t，则，，得到，解方程即可求解；（3）分两种情况，当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，利用相似三角形的性质得到方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：令，则，∴，，∵，∴，由题意，将，代入，得，解得，∴二次函数的表达式为，设线段所在直线的表达式为，∴，解得，∴所在直线的表达式为；（2）解：∵轴，∴，只要，此时以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形．设点D的横坐标为t，则，，，由，∴，或，解之，得，当时，，当时，，当时，，∴D的坐标为或或；（3）解：∵，∴只有当或时，以点D，C，E为顶点的三角形与相似，设，则，，，，①当时，如图，，解得，，此时，D点坐标为，；②当时，如图，，解得，，此时，D点坐标为，，综上，当以点D，C，E为顶点的三角形与相似时，点D的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．11．(1)(2)是直角三角形，理由见解析(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）根据题中条件，利用待定系数法确定函数关系式，解二元一次方程组即可得到答案；（2）由（1）中所得函数表达式，令，解一元二次方程得到，，再利用勾股定理的逆定理直接即可判定是直角三角形；（3）根据题意，分类讨论，利用相似三角形性质，根据平面直角坐标系中线段长成比例列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：（1）二次函数的图像经过点、点，，解得：，二次函数的关系式为；（2）解：是直角三角形．理由如下：令，得，解得：，，点的坐标为，，，，，，，，，，，，，是直角三角形；（3）解：①点在第一象限，如图1所示：Ⅰ若，则有，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），，点的坐标为，即；Ⅱ若，则，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），，点的坐标为，即；②点在第二象限，如图2所示：Ⅰ若，则，设，则，点的坐标为，把点代入，得：，解得：（舍去），（舍去）；Ⅱ若，则，