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文档简介
新知导入
情境引入
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材,并使截面正方形的面积尽可能地大?
合作学习
1.过三角形的三个顶点能画一个圆吗?为什么?
不在同一条直线上的三点确定一个圆.想一想2.什么是三角形的外接圆?什么是圆的内接三角形?经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.OCABDOCABDOCABD如图:3.(1)任意三角形都有外接圆吗?(2)过四边形的四个顶点能画一个圆吗?为什么?(1)一定(2)不一定
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.定义1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,当BD是直径时,你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系?为什么?∠A+∠C=180°∠ABC+∠ADC=180°四边形的内角和等于360°问题探究2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,当BD不是直径时,你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立?你发现了什么?再探究关系成立发现:每一组对角相加等于180°,即对角互补。已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,求证:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°BAD+BCD=360°
证明猜想提炼概念
几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∠A+∠C=180°∠B+∠D=180°圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补。想一想:
∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,则∠DCE与∠A相等吗?为什么?新的发现:圆内接四边形的外角等于它的内对角。
AEBCDO视角新现∠DCE=∠A圆内接四边形的外角等于它的内对角。
典例精讲
新知讲解
例1如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.证明:∵AD是∠EAC的平分线,∴∠DAC=∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠BAD+∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠BAD+∠DAE=180°
∴∠DCB=∠DAE而∠DAC=∠DBC(在同圆中,同弧所对的圆周角相等),∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.如图,AD为△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D,F为BC上的点.(1)求证:BD=DC;(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心,并说明理由.解:(2)若F为BC中点,则DF经过圆心.∵△DBC是等腰三角形,∴DF是底边中线.∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点,∴DF必过圆心.例2如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?最大横截面面积是多少?如果这根原木长15m,问锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)?解:如图,所得的四边形是矩形,理由如下:AODCB∵AC,BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450(cm2)=4.5×10-2(m2)∴V=4.5×10-2×15=0.675(m3)目标检测1.在圆内接四边形ABCD中,ADC与ABC的比为3︰2.则∠B
=
°.2.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,则∠D=
°.
第2题第3题第4题3.如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O,且∠C
=2∠A.则BD=
.4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形.则∠ADC=
°.5.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结DE.求证:DE∥BC.
6.如图,AB是⊙O的直径,圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F,点G在DE延长线上,EA平分∠CEG.(1)求证:AB⊥CD.(2)若AC=CE,AB=9,BF=1,求△ACE的面积.第6题课堂小结1.圆内接四边形的概念圆内接四边形:如果一个四边形的各个顶点在_____________上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形;四边形的外接圆:这个圆叫做四边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的___________.拓展:圆内接四边形的一个外角________和它不相邻的一个内角.同一个圆对角互补等于作业布置教材课后作业题第1-6题。2.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点.若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是()A.115°B.105°C.100°D.95°B3.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC交于点D,E.则下列判断:①BD=CD;②BD=DE;③AE=DE;④△ABC为锐角三角形.其中正确的有
(
)CA.1个 B.2个C.3个 D.4个【解析】连结AD,则∠ADB=90°.△ABC中,AB=AC,AD⊥BC.∴BD=CD,故①正确.∵四边形ABDE内接于⊙O,∴∠CED=∠B;∵AB=AC,∴∠B=∠C;∴∠DEC=∠C,即DE=CD=BD.故②正确.根据线段AC与圆的位置关系,从点E的位置情况可分别讨论,得到∠A一定是锐角.由∠A是锐角,∠B=∠C,则△ABC一定是锐角三角形,因此④正确;课堂练习1
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