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文档简介

演示文稿差商与插值公式目前一页\总数二十一页\编于一点差商与插值公式ppt课件目前二页\总数二十一页\编于一点

优点:具有严格的规律性,便于记忆.

缺点:不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.

为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式—Newton插值公式.

本讲主要内容:●差商的定义及性质●Newton插值多项式的构造Lagrange插值多项式：目前三页\总数二十一页\编于一点且同样承袭性：为实数目前四页\总数二十一页\编于一点而且有：目前五页\总数二十一页\编于一点这样：目前六页\总数二十一页\编于一点2.4.1差商及其基本性质定义1

称为f(x)在x0、x1点的一阶差商.称为函数f(x)在x0、x1、xk

点的二阶差商.一阶差商的差商目前七页\总数二十一页\编于一点一般地，k-1阶差商的差商

称为f(x)在x0,x1,…,xk点的k阶差商

一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶差商，记作f[xi]。目前八页\总数二十一页\编于一点

f[xi,xj,xk]是指f[xi

,xj

,xk]=f[xi

,xk]-f[xi

,xj]xk-xj一般的,可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为目前九页\总数二十一页\编于一点它表明差商与节点的排列次序无关，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性质1

差商可以表示为函数值的线性组合，即称之为差商的对称性（也称为对称性质）。目前十页\总数二十一页\编于一点性质2

由性质1立刻得到目前十一页\总数二十一页\编于一点性质3

若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn∈[a,b],则至少存在一点[a,b]

满足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f[1,2,…,9]=-6,f[1,2,…,10]=0.目前十二页\总数二十一页\编于一点

一阶

二阶

n阶

………差商表计算原则：

任意一个k(k>=1)阶差商的数值等于一个分式的值，分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值节点值之差。目前十三页\总数二十一页\编于一点2.4.2牛顿插值公式英1642-1727目前十四页\总数二十一页\编于一点

一阶

二阶n阶

………构造差商表目前十五页\总数二十一页\编于一点利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式且有如下递推形式目前十六页\总数二十一页\编于一点设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得同理，由二阶差商定义如此继续下去，可得一系列等式得得牛顿插值公式推导二：目前十七页\总数二十一页\编于一点依次把后式代入前式，最后得目前十八页\总数二十一页\编于一点

Rn(x)称为牛顿型插值余项。目前十九页\总数二十一页\编于一点由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,

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