材料力学正应力计算

工程力学

清华大学出版社北京交通大学出版社工程力学教学课件目前一页\总数四十五页\编于一点第十七章弯曲应力及强度刚度计算目前二页\总数四十五页\编于一点第一节梁弯曲时的正应力#纯弯曲与剪切弯曲#中性层和中性轴#弯曲正应力分布规律#弯曲正应力的计算、抗弯截面模量目前三页\总数四十五页\编于一点各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。目前四页\总数四十五页\编于一点

1、变形几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。中性层中性轴目前五页\总数四十五页\编于一点#中性层和中性轴

中性层

梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。

对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。

中性轴中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短目前六页\总数四十五页\编于一点弯曲正应力分布规律M

与中性轴距离相等的点，正应力相等；

正应力大小与其到中性轴距离成正比；

弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；

弯矩为负时，正应力上拉下压；M

中性轴上，正应力等于零目前七页\总数四十五页\编于一点2、静力学关系分析Z:中性轴没有轴向力中性轴必然通过横截面的形心质心坐标静矩，面积矩目前八页\总数四十五页\编于一点抗弯刚度目前九页\总数四十五页\编于一点横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩目前十页\总数四十五页\编于一点梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为

例一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩目前十一页\总数四十五页\编于一点

因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为（2）求最大应力目前十二页\总数四十五页\编于一点

第二节惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩矩形截面目前十三页\总数四十五页\编于一点100200200100zzyyP(a)(b)目前十四页\总数四十五页\编于一点圆形与圆环截面实心圆空心圆目前十五页\总数四十五页\编于一点2、组合截面惯性矩目前十六页\总数四十五页\编于一点平行移轴公式目前十七页\总数四十五页\编于一点

例求T字形截面的中性轴z，并求截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为Ⅰ、Ⅱ两矩形，取与截面底边相重合的z轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z轴的距离分别为：（1）确定形心和中性轴的位置目前十八页\总数四十五页\编于一点整个截面的形心C在对称轴y上的位置则为：即中性轴z与轴z的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩

设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：目前十九页\总数四十五页\编于一点由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为：将两矩形对z轴的惯性矩相加，得（3）求整个截面对中性轴的惯性矩目前二十页\总数四十五页\编于一点3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量

某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：WZ

称为抗弯截面模量，Z

为中性轴.矩形截面Zbh实心圆截面Zd目前二十一页\总数四十五页\编于一点例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy5288解1、计算C截面弯矩RARBMCC截面Xy目前二十二页\总数四十五页\编于一点例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析C截面应力分布情况目前二十三页\总数四十五页\编于一点例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7×104mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、压应力。

MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXy目前二十四页\总数四十五页\编于一点4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzh/2h/2目前二十五页\总数四十五页\编于一点第三节弯曲切应力目前二十六页\总数四十五页\编于一点一、矩形截面梁横截面上的切应力

第三节弯曲切应力目前二十七页\总数四十五页\编于一点第三节弯曲切应力二、工字形截面梁横截面上的剪切应力

目前二十八页\总数四十五页\编于一点第四节梁的强度计算#梁的最大正应力#梁的强度条件#举例目前二十九页\总数四十五页\编于一点一、梁的最大正应力

梁的危险截面即最大正应力所在截面对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部

梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处目前三十页\总数四十五页\编于一点对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ5288危险截面：在最大的正弯矩截面和最大的负弯矩截面。目前三十一页\总数四十五页\编于一点二、梁的正应力强度条件Mmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量[σ]材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷目前三十二页\总数四十五页\编于一点例图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力[σ]=140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩qRAyM300700300由对称性可求得：目前三十三页\总数四十五页\编于一点例：一圆形截面木梁，受力如图所示[σ]=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3m解：1、确定危险截面ABFAFBFQM-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危险截面：A截面

Mmax=3kNm目前三十四页\总数四十五页\编于一点例：一圆形截面木梁，受力如图所示[σ]=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3mABFAFB危险截面：A截面

Mmax=3kNm2、据正应力强度条件确定截面直径。目前三十五页\总数四十五页\编于一点例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力[σ]=100MPa,试求q的许可值。PqLABZ解：1、确定危险截面PP+qLPL+qL2/2危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2(kNm)目前三十六页\总数四十五页\编于一点例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力[σ]=100MPa,试求q的许可值。PqLABZ危险截面：固定端AMmax=PL+ql2/2(kNm)2、据强度条件确定q目前三十七页\总数四十五页\编于一点例图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，WZ越大越好梁立置时：梁倒置时：立置比倒置强度大一倍。注意：Z轴为中性轴目前三十八页\总数四十五页\编于一点三、梁的弯曲剪应力强度校核

通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。强度条件为：目前三十九页\总数四十五页\编于一点

例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mc解：1、确定危险截面FAFB54KN-6KNFQM10.8KNm危险截面：C截面目前四十页\总数四十五页\编于一点

例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB危险截面：C截面解：2、据正应力强度条件确定工字钢的型号。目前四十一页\总数四十五页\编于一点

例：图示简支梁，材料的许用应力[σ]=140MPa，[τ]=80MPa，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB解：3、校核剪应力强度目前四十二页\总数四十五页\编于一点