二重积分概念

二重积分概念第一页，共三十页，编辑于2023年，星期五

第十章山东交通学院高等数学教研室第一节二重积分的概念与性质一、引例二、二重积分的定义三、二重积分的性质第二页，共三十页，编辑于2023年，星期五一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.第三页，共三十页，编辑于2023年，星期五特例：平顶柱体的体积特点：平顶.柱体体积=底面积×高特点：曲顶.柱体体积=？第四页，共三十页，编辑于2023年，星期五解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

第五页，共三十页，编辑于2023年，星期五解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

第六页，共三十页，编辑于2023年，星期五解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

第七页，共三十页，编辑于2023年，星期五解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

第八页，共三十页，编辑于2023年，星期五解法:

无限分割的思想曲顶柱体的体积

“分割，近似，求和，取极限”第九页，共三十页，编辑于2023年，星期五①分割：③求和：④取极限:以它们为底相应地曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在代表区域

中任取一点②近似：用任意曲线网分D为n个区域第十页，共三十页，编辑于2023年，星期五有一个平面薄片,在xOy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“分割，近似，求和，取极限”解决.1)分割用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.2.平面薄片的质量第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五2)近似中任取一点3)求和4)取极限则第

i小块的质量在令第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割，近似，求和，取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五二、二重积分的定义①分割：③求和：④

取极限:则称此极限值为定义：设是有界闭区域上的有界函数作乘积任取②近似：用任意曲线网分D为n个区域如果极限值存在，在区域D

上的二重积分，记为个小区域，也表示该区域的面积，表示第第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五即积分区域被积函数被积表达式面积元素积分和第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五若函数定理在D上可积.在有界闭区域D上连续,则二重积分存在定理:第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五三、二重积分的性质(k

为常数)为D的面积,则第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期五特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期五7.(二重积分的中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期五例1.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期五复习第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期五第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期五xabA(x)x+dxxV平行截面面积是已知的立体的体积的求法第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期五xyy=f(x)abx111111111of(x)V第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期五内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期五被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:第二十八页，共三十页，编辑于2023年，星期五2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<