高分必会系列之函数零点个数问题总结完美

零点个数问题该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用.一、分段函数的零点问题【例1】（2020•漳州一模）已知函数，若与有三个公共点，则实数的取值范围是A．B．C．D．解：如图所示，函数的图象，的图象．时，，可得，．时，，．时，，．假设与相切于原点时，．结合图形可得：时与有三个公共点．设直线与相切于点，，则，化为：，解得：，可得斜率．结合图形可得：时，与有三个公共点．综上可得：，或时，与有三个公共点．故选：．【例2】(2019·郑州质量测试)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(

)A．(0,1]

B．[1，＋∞)

C．(0,1)

D．(－∞，1]【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.【变式训练】（2020•泉州一模）已知函数若函数至多有2个零点，则的取值范围是A．B．C．D．，解：当时，，则时，，则在上单调递减，在上单调递增，且当时，，；当时，，则时，，则在上单调递减，在上单调递增，且（1），函数至多有2个零点等价于函数的图象与直线的图象至多2个零点，作出图象如下：由图可知，时，图象有2个交点，满足；时，图象有3个或4个交点，不满足；时，图象有2个或1个或0个交点，满足，故，，，故选：．二、复合函数零点问题【例3】（2020•郑州一模），，若有9个零点，则的取值范围是A．B．C．D．解：令，，，当，时，函数递增，当时，函数递减，函数有极大值，极小值（2），若有9个零点，画出图象如下：观察函数与的交点，当时，，此时函数与最多有3个交点，故不成立，当时，，，，（2），，有三个解，有2个解，共5个解不成立；当时，显然不成立；故要使函数有9个零点，，根据图象，每个最多与有三个交点，要有9个交点，只能每个都要有3个交点，当，与的交点，，，，，，（2），当时，由，即时，得时，时，有三个解，，要有三个解，即，有三个解，即，综上，，故选：．【例4】（2019·湖北重点中学联考）已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，则的取值范围为__________.【解析】，易知的图象如下：，令，则，得，当有两个不等实根是，则，所以，即的取值范围是。【变式训练】（2020•合肥一模）已知函数，则函数的零点个数为是自然对数的底数）．A．6

B．5

C．4

D．3解：不妨设，，易知，在，上恒成立，且在，单调递增；，设，由当时，，（1），且函数在上单增，故函数存在唯一零点，使得，即，则，故当时，，，单减；当，时，，，单增，故，故；令，，当时，，解得，此时易知有一个解；当时，，即，作函数与函数如下图所示，由图可知，函数与函数有两个交点，设这两个交点为，，且，，而由图观察易知，，均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数的零点个数为5．故选：．三、周期函数零点问题【例5】（2019•南通四模）已知是定义在上且周期为的周期函数，当，时，．若函数在上恰有4个互不相同的零点，则实数的值为．【解答】解：是定义在上且周期为的周期函数，当，时，．可得函数的图象如下：根据图象可得时，，．故答案为：．【例6】偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是________．【解答】依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个．因此，当x∈[0，9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9．【变式训练】（2020•兴庆区校级一模）已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为A．，B．，C．，D．，解：当，时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当，得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，，令，则，由△，得，由，且得，同样由与第三个椭圆由△可计算得，综上可知，．故选：．课后训练1．（2020•金安区校级模拟）已知函数满足，且，时，，又，则函数在区间，上零点的个数为A．2015

B．2016

C．2017

D．2018【分析】求出函数的周期，利用分段函数，求解函数的单调性，通过数形结合判断函数的零点个数即可．【解答】解：因为，所以的一个周期为2，当时，，所以，所以，，函数是增函数，（1），，，函数是减函数，，的最大值为1，与的图象如下：在区间，内有一个根，在，内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以共有2017个零点．故选：．2．（2020•宁德一模）已知函数下列关于函数的零点个数正确的是A．当时，至少有2个零点

B．当时，至多有7个零点

C．当时，至少有4个零点

D．当时，至多有4个零点【解答】解：对于，，，令，可得，故，在处取最大值2．①当时：要取得最少的零点个数，则，此时．此时函数图象如图．故有，故，由图得零点个数为1．故错误．要取得最多的零点个数，则此时，此时，．如图故有，所以，，．其中，，有一根，最多2个根，．最多有4个根，一共最多有7个零点．故正确．②当时，函数为增函数，画出图象有令有，，其中即，由图知，故．故有2个零点，有一个零点．故一共有3个零点．所以，错误．故选：．3．（2020•重庆模拟）函数，若关于的方程有四个不等的实数根，则的取值范围是A．B．，C．D．【解答】解：当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，当时，，当时，单调递减，所以的图象如图所示：令，则由上图可知当或1时，方程有两个实根；当时，方程有3个实数根；当，，时，方程有一个实数根，所以关于的方程程有四个不等的实数根等价于关于的方程有两个实数根，或，，，，当，时，，当，，，时，，解得，综上所述，．故选：．4．（2020•湘潭一模）已知函数，若函数恰有8个零点，则的值不可能为A．8

B．9

C．10

D．12解：易知，当时，方程只有1个实根，从而不可能有8个零点，则，的实根为，0，．令，则，则，0，数形结合可知，直线与的图象有2个交点，直线与的图象有3个交点，所以由题意可得直线与的图象有3个交点，则必有，又，所以．故选：．5．（2020春•南岗区校级月考）已知偶函数满足，且当，时，，若关于的不等式在，上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是A．，B．，C．，D．，解：偶函数满足，，则为周期为8的函数，又因为为偶函数，且当，时，，则当，，即，，则，即，时，，，则，，，单调递增；，，，单调递减；作出函数在一个周期内的图象如图：因为，很明显不满足不等式，所以，又由图可知，则等价于，因为不等式在，上有且只有300个整数解，所以要求在，上有3个整数解，显然这3个整数解为1，2，3，即在，上有3个整数解1，2，3，所以，即，解得，故选：．6．（2020•吉林二模）已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A．，B．C．D．，【解答】解：由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，即，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图象有两个交点．画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为．故选：．7．（2020•九龙坡区模拟）已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有60个整数解，则实数的取值范围是A．，B．，C．，D．，【解答】解：当时，，令得，在上单调递增，在，上单调递减，，是偶函数，，的周期为8，作出一个周期内的函数图象如图所示：是偶函数，且不等式在，上有且只有60个整数解，不等式在内有30个整数解，在内有5个周期，在一个周期内有6个整数解，（1）若，由，可得或，显然在一个周期内有7个整数解，不符合题意；（2）若，由，可得或，显然在区间上无解，在上有6个整数解，在上关于直线对称，在上有3个整数解，（1），（2），（3），（4）在上的整数解为，，．，故选：．8．（2020•桂林一模）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为A．，B．，，C．，D．，，解：函数有两个零点等价于方程有2个不等根，则，即，要想满足方程有2个不等根，则，解得或，即取值范围为，，，故选：．9．（2020•沈阳一模）已知函数是定义在，，上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为A．20

B．18

C．16

D．14解：，时，，又，当时，即将在区间，图象依次向右移2个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的倍，得到函数在上的图象．关于轴对称得到的图象．如图所示：令，得或，即与两条直线截函数图象共16个交点，所以函数共有16个零点．故选：．10．（2020•贵州模拟）已知函数，函数的零点个数A．2

B．3

C．4

D．5解：设，则等价于，令，解得，的零点个数等价于函数的图象与直线，的交点个数之和，又函数的图象与直线，的位置关系如图，则由图可知：函数的图象与直线，的交点个数之和为3，即的零点个数为3，故选：．11．（2020•海安市模拟）已知函数，，，．若函数恰有3个不同的零点，则的取值集合为解：函数恰有3个不同的零点，即为方程有三个实根，作出和的图象，考虑它们的交点个数．由与只有一个交点；由的对称轴为，零点为0，2，与有两个交点；由的对称轴为，零点为，1，3，且，故与有三个交点；由的对称轴为，零点为，0，2，4，与有两个交点；由的对称轴为，零点为，，1，3，5，且，故与有三个交点．综上可得，5，符合题意．故答案为：，．12．（2020•淮阴区模拟）已知函数，且在，上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为．解：设，则，函数的对称轴为，若，则函数在，上是增函数，在，上的最大值为（2），不满足则必有，即，由得，得或，若在，上的最大值为，则，即，同时，即，即，即，得，，，即，对称轴，由有四个不同的零点，得，即有四个不同的根，即与的图象有四个不同的交点，作出两个函数的图象如图：当时，不满足条件．当时，要使两个函数有四个交点，当在相切时，得，则判别式△，得得，，要使使两个函数有四个交点，则，即实数的取值范围是．13．（2020•南通模拟）设函数，若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是．解：根据题意，画出分段函数图象如下：令，则方程有5个不同的实数根，即方程有2个不同的实数根，且，．则，．故△，解得．根据韦达定理，，．故，．解得．综上所述，可得实数的取值范围为，．故答案为：，．14．（2020•开封模拟）已知函数是定