高中数学2-⒊学案：第二章 概率 2．5.1　离散型随机变量的均值 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．5。1离散型随机变量的均值学习目标1。通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值.2。理解离散型随机变量的均值的性质。3.掌握两点分布、二项分布的均值.4。会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜，其中4个重5kg，3个重6kg,5个重7kg。思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？思考2当X取上述值时，对应的概率分别是多少？思考3如何求每个西瓜的平均重量?梳理离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：Xx1x2…xnPp1p2…pn(1）数学期望：E(X）＝μ＝________________________________________________________________________.(2）性质①pi≥0，i＝1,2，…，n;②p1＋p2＋…＋pn＝1。（3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的____________．知识点二两点分布、超几何分布、二项分布的均值1．两点分布：若X～0－1分布，则E（X)＝________。2．超几何分布：若X～H（n，M，N），则E（X)＝________。3．二项分布：若X～B(n，p），则E（X）＝________.类型一离散型随机变量的均值eq\x（命题角度1一般离散型随机变量的均值）例1某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分,回答不正确得－100分,假设这名同学回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．反思与感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．（2）求出X取每个值的概率P(X＝k）．(3)写出X的分布列．（4)利用均值的定义求E（X)．跟踪训练1在有奖摸彩中,一期（发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元，20个奖品是25元，5个奖品是100元．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？eq\x(命题角度2二项分布与两点分布的均值)引申探究在重复5次投篮时,命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2.求E(η)．例2某运动员投篮命中率为p＝0。6。(1)求投篮1次命中次数X的均值；(2）求重复5次投篮，命中次数Y的均值．反思与感悟(1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则①两点分布E（X）＝p;②二项分布E(X）＝np。熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．(2）两点分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．②不同点：a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值X＝0，1，2，…，n。b．试验次数不同,两点分布一般只有一次试验;二项分布则进行n次试验．跟踪训练2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0。3，设各车主购买保险相互独立．(1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．eq\x（命题角度3超几何分布的均值）例3一个口袋内有n(n〉3)个大小相同的球,其中有3个红球和（n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq\f(3，5）.不放回地从口袋中随机取出3个球,求取到白球的个数ξ的均值E(ξ)．反思与感悟（1)超几何分布模型一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P（X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al（n－k,N－M),C\o\al（n,N）),k＝0，1,2，…,m，其中m＝min{M,n｝，且n≤N，M≤N，n,M，N∈N*。（2）超几何分布均值的计算公式若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X）＝eq\f（nM,N).跟踪训练3设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次,并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E（X)．类型二均值的应用例4甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为eq\f（1,2)，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；(2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．反思与感悟解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．跟踪训练4某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球,在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球,则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和均值．1．现有一个项目,对该项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元，1。18万元，1。17万元的概率分别为eq\f(1,6),eq\f（1，2），eq\f（1,3).随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为________．2．若p为非负实数,随机变量ξ的概率分布如下表：ξ012Peq\f(1，2）－ppeq\f（1，2)则E（ξ）的最大值为________．3．设随机变量X～B(40，p），且E（X)＝16，则p＝________。4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个,记上n号的有n个（n＝1,2，3,4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布、均值；(2)若η＝aξ＋4，E（η）＝1，求a的值．1．求离散型随机变量的均值的步骤（1)确定离散型随机变量X的取值．(2）写出分布列,并检查分布列的正确与否．(3)根据公式写出均值．2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y）＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．

答案精析问题导学知识点一思考1X＝5,6，7.思考2P（X＝5)＝eq\f(4,12）＝eq\f(1,3），P(X＝6）＝eq\f(3，12)＝eq\f（1，4)，P（X＝7)＝eq\f（5，12）。思考3eq\f（5×4＋6×3＋7×5,12）＝5×eq\f(1，3）＋6×eq\f（1,4）＋7×eq\f(5,12)＝eq\f（73，12）.梳理(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(3)平均水平知识点二1．p2。eq\f(nM，N)3。np题型探究例1解（1）X的可能取值为－300，－100,100，300。P（X＝－300）＝0.23＝0。008，P(X＝－100)＝Ceq\o\al（1,3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝100）＝Ceq\o\al（2，3）×0.82×0。21＝0。384，P（X＝300）＝0.83＝0。512，所以X的概率分布如下表：X－300－100100300P0。0080.0960。3840.512所以E（X）＝(－300）×0。008＋(－100）×0.096＋100×0。384＋300×0.512＝180（分）．（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（X≥0）＝P(X＝100)＋P(X＝300）＝0。384＋0.512＝0.896.跟踪训练1解设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25,100。依题意X的概率分布如下表：X0525100Peq\f(391,400)eq\f（1,50）eq\f(1，500）eq\f(1，2000）所以E（X)＝0×eq\f（391,400）＋5×eq\f（1,50）＋25×eq\f(1,500）＋100×eq\f(1,2000)＝0.2,所以一张彩票的合理价格是0.2元．例2解（1）投篮1次，命中次数X的概率分布如下表：X01P0.40.6则E(X）＝0。6.（2）由题意知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B（5,0。6),E(Y)＝np＝5×0。6＝3.引申探究解E(η）＝E（5Y＋2）＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17。跟踪训练2解设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0。5)＝0。3，解得p＝0。6.(1）设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5）×（1－0.6)＝0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0。8.(2）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1－0。5）×（1－0.6）＝0。2.∴X~B（100,0.2)，∴E（X)＝100×0.2＝20。∴X的均值是20.例3解∵p＝eq\f（3,5)，∴eq\f（3,n)＝eq\f（3,5），∴n＝5，∴5个球中有2个白球．方法一白球的个数ξ可取0，1,2.则P(ξ＝0）＝eq\f(C\o\al(3，3），C\o\al(3，5））＝eq\f（1,10），P（ξ＝1）＝eq\f(C\o\al（2,3)C\o\al(1，2），C\o\al（3，5）)＝eq\f（3,5），P(ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（2,2)，C\o\al(3，5）)＝eq\f(3，10）。∴E（ξ)＝eq\f（1,10)×0＋eq\f(3，5）×1＋eq\f(3，10）×2＝eq\f(6，5).方法二取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2,n＝3的超几何分布，则E（ξ）＝eq\f（nM,N）＝eq\f(3×2,5)＝eq\f（6，5).跟踪训练3解方法一P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(3，13）,C\o\al（3，15))＝eq\f（22,35)，P（X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,2)C\o\al（2，13），C\o\al（3,15))＝eq\f(12，35），P(X＝2）＝eq\f(C\o\al(2,2）C\o\al（1，13），C\o\al(3，15))＝eq\f(1，35),则E（X）＝0×eq\f（22,35）＋1×eq\f(12，35)＋2×eq\f（1，35)＝eq\f(2,5）.方法二由题意可知，X服从N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布，∴E(X)＝eq\f（Mn，N）＝eq\f(2×3，15)＝eq\f（2，5).例4解（1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A）＝P（A1A2）＝P（A1)P(A2)＝eq\f(1，4).(2)X的可能取值为0,1,2。记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙"，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P（B1B2A3）＝P(B1）P(B2)P（A3)＝eq\f（1,8)，P（X＝2）＝P(eq\x\to(B）1B3)＝P(eq\x\to(B)1）P(B3）＝eq\f（1,4)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P（X＝2)＝1－eq\f(1，8）－eq\f（1，4）＝eq\f(5，8)，E（X)＝0·P(X＝0）＋1·P（X＝1）＋2·P（X＝2）＝eq\f(9,8).跟踪训练4解(1）记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝｛顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖｝．由题意，A1与A2相互独立，A1eq\x\to（A）2与eq\x\to(A）1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq\x\to（A）2＋eq\x\to(A)1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝eq\f（4,10)＝eq\f(2，5），P(A2）＝eq\f（5，10）＝eq\f（1,2）,所以P（B1)＝P（A1A2）＝P(A1)P(A2)＝eq\f(2，5）×eq\f（1，2)＝eq\f(1，5），P（B2)＝P(A1eq\x\to(A）2＋eq\x\to(A）1A2)＝P（A1eq\x\to(A)2）＋P（eq\x\to(A）1A2）＝P（A1)P（eq\x\to(A)2）＋P（eq\x\to(A)1)P（A2)＝P(A1）[1－P（A2)］＋［1－P（A1)]P（A2）＝eq\f（2,5）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2))）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)））×eq\f(1,2）＝eq\f(1,2）。故所求概率为P(C)＝P（B1＋B2）＝P（B1)＋P（B2）＝eq\f（1,5）＋eq\f(1,2）＝eq\f(7，10）。(2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq\f（1，5）,所以X～Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5））)。于是P(X＝0)＝Ceq\o\al（0，3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,5))）0eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4,5)))3＝eq\f(64，125），P（X＝1）＝Ceq\o\al（1，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，5）)）1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4，5）)）2＝eq\f（48，125），P(