高中数学1-2学案：2．1.1　合情推理（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.1合情推理(二)学习目标1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．知识点一类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的思考：1．由等式的性质猜想不等式的性质等式不等式(1)a＝b⇒a＋c＝b＋ceq\o(→,\s\up7（猜想)）a＞b⇒a＋c＞b＋c；(2）a＝b⇒ac＝bceq\o(→，\s\up7(猜想)）a＞b⇒ac＞bc；(3)a＝b⇒a2＝b2eq\o(→，\s\up7(猜想））a＞b⇒a2＞b2。2．对比圆和球，有类似特征：（1）完美对称；(2）都是到定点距离等于定长的点的集合；（3)形状相近．根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心到其切面的距离等于半径”．思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？思考2猜想一定正确吗？根据两个（或两类）对象之间在某些方面的________________，推演出它们在其他方面也________________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为:eq\x(观察、比较)→eq\x（联想、类推）→eq\x（猜测新的结论）知识点二合情推理根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．____________和____________都是数学活动中常用的合情推理．类型一数列中的类比推理例1在等差数列{an}中,若a10＝0,证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，n∈N*)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式___________成立．反思与感悟(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积（或商）．跟踪训练1已知命题:若数列｛an}为等差数列，且am＝a，an＝b（m≠n，m，n∈N＊）,则am＋n＝eq\f(bn－am，n－m)。现已知等比数列｛bn｝(bn＞0,n∈N＊），且bm＝a，bn＝b(m，n∈N＊且m≠n）．类比上述结论，求bm＋n，并说明理由．类型二几何中的类比推理例2在平面几何里,有勾股定理:设△ABC的两条边BC，AC互相垂直,则BC2＋AC2＝AB2。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系,可以得出什么样的结论？反思与感悟解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下:平面图形点线边长面积线线角三角形平行四边形圆空间图形线面面积体积二面角四面体平行六面体球跟踪训练2已知圆的方程是x2＋y2＝r2,则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为xx0＋yy0＝r2，类比上述性质，可以得到椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1类似的性质为______________________________________________________________________________________________。1．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a＝b"类推出“a·c＝b·c，则a＝b”；②“（a·b)·c＝a·（b·c)”类推出“(a·b）·c＝a·（b·c）”；③“(a＋b）c＝ac＋bc”类推出“eq\f(a＋b,c）＝eq\f(a,c)＋eq\f（b,c）（c≠0）”;④“(ab）n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”．2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到一个空间中的命题是________(填序号)．①空间中平行于同一直线的两直线平行；②空间中平行于同一平面的两直线平行；③空间中平行于同一直线的两平面平行；④空间中平行于同一平面的两平面平行．3．若数列｛cn}是等差数列,则当dn＝eq\f（c1＋c2＋…＋cn,n)时，数列{dn｝也是等差数列，类比上述性质，若数列｛an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝____________时,数列｛bn｝也是等比数列．4．在平面直角坐标系Oxy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0）表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O－xyz中,三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0（A，B，C不同时为0)表示________________．1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．合情推理的过程概括为eq\x（从具体问题出发)→eq\x(观察、分析、比较、联想)→eq\x（归纳、类比)→eq\x（提出猜想)答案精析问题导学知识点一思考1两个实例均是根据两个（或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同．思考2不一定正确．相似或相同相似或相同知识点二归纳推理类比推理题型探究例1b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n〈17，n∈N＊）解析在等差数列｛an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0,∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1,又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n。相应地，类比此性质在等比数列｛bn｝中，可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n〈17，n∈N*)．跟踪训练1解类比得bm＋n＝eq\r（n－m,\f(bn，am)).理由如下：设等比数列{bn}的公比为q，则bm＋n＝bmqn.又∵eq\f(bm,bn)＝eq\f(b1qm－1,b1qn－1)＝qm－n＝eq\f(a,b)。∴q＝(eq\f（a,b）)eq\f(1，m－n)。因此bm＋n＝bmqn＝a(eq\f（a,b））eq\f(n，m－n）＝(eq\f(bn,am))eq\f（1,n－m）＝eq\r(n－m，\f（bn，am）)。例2解考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象.直角三角形3个侧面两两垂直的三棱锥∠C＝90°∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°3条边的长度分别为a，b,c4个面的面积分别为S1，S2，S3和S2条直角边a，b和1条斜边c3个“直角面”S1,S2，S3和1个“斜面”S类比勾股定理的结构,猜想在三棱锥中，S2＝Seq\o\al（2，1）＋Seq\o\al（2,2）＋Seq\o\al（2,3）。跟踪训练2过椭圆eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为eq\f(x0x，a2）＋eq\f（y0y,b2)＝1解析圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0）的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1类似的性质为：过椭圆eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1上一点P（x0,y0)的切线方程为eq\f(x0x，a2）＋eq\f(y0y,b2)＝1.达标检测1．③解析①②④均错．2．④解析利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比．3。eq\r（n，a1a2…an）4．过原点的平面解析平面几何中