设计第2章极限问题的解析

第1章绪 1.1简 微积分有关知 应用求解微积 本章小 第2章极限问题的解析 单变量函数的极 区间函数的极限运 多变量函数的极 本章小 第3章函数导数的解析 函数的导数的高阶导 参数方程的导 多元函数的偏导 隐函数的导 多元函数的Jacobi矩 Hess偏导数矩 本章小 第4章积分问题的解析 不定积分的推 定积分与无穷积分计 多重积分问题的求 本章小 第5章函数的级数展开与级数求和问题求 单变量Taylor幂级数展 多变量函数的Taylor幂级数展 Fourier级数展 级数求和的计 序列求积问 本章小 第6章曲线积分及求 第一类曲线积 曲面积分与语言求 本章小 第7章微积分问题数学模型应用实例及求 储油罐的变位识别模 本章总 结 参考文 致 11.1简Thethorks公司推出的语言一直是国际科学界应用和影响最广泛的三大计算机数学语言之一，是matrix和labortry两个词的组合，意为矩阵工（矩阵，主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境.从某种角度来说，在纯数学以外的领域中，语言有着其他两种计算机数学语言themtica和Mple无法比拟的优势和适用面.在很多领域，语言都是科学研究者首选的计算机数学语言，其在高等应用数学的各个分支中都有应用，包含的应用数学分支为微积分、线性代数、概率论与数理统计以及新的非传统方法如模糊逻辑与模糊推理神经网络遗传算法小波分析粗糙集以分数阶微积分学等.可以.为了简化涉及数值运算或绘制图形方面的程序的编制，的开发者人CleveMoler及其同事在国家科学基金的资助下研究开发调用LINPACKEISPACKFORTRAN子程序库，随着研究的深入，他将这个接口程序改名为.此时的作为一种文化现象开始受到欢迎，并成了应用数学界的术语.受到的影响，工程师Little将应用到了工程领域并合作开发出了以C语言编写与图形功能为的第二代专业版.Mathworks公司在1984年正式推出，并继续从事的研，经过十几年的发展和竞争现已逐步风靡世界.可靠的数值运算能是区别于其他科技应用软件的显著特点.，的数值计算功能包括：矩阵的创建和保存、数值矩阵代数、乘方分和数值导数、用于求积分、优化和微分方程的数值解的功能函数等.在一代的通用软件开发平台，并为此提供了将源程序编译为独立于集成环境运行的EXE文件，以及转化为C语言源程序的编译器.高效的数值计算和符号计算功能可以有效提高用户进行数学计算如今的在图形与可视化功能方面也发展迅速.自出现进行标注和打印甚至还能进行二维三维的图形处理.新版本的在原此外，工具包也是的一大特点.中包括数百个内部函存在保证了的开放性除了内部函数所有主包文件和各种构造新的工具包，这种开放性也让广受欢迎.总体来说，的优点在于强大的作图功能，高度智能化，丰富完善的功能和强大的扩展性正因于此，已经成为研究和解决各种具体工程微积分是研究微分学和积分学的统称，英文名称是Calculus（拉丁语意为用从微积分称为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已 ，来填充抛物线的图形，以求得其面积.这些都是穷尽法的古典例子.在我国， 完全的数学证明.微积分的范围被打打拓宽了.极限不是对微积分基础的唯一推一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导数.引进的常用导数记号例：y dy2其中dy是上面计算的极限 b面积的代数解.微积分的基 为af(x)dxF(b)述微积分的科算问题，调用现有的函数或自编的函数，可以直接本章介绍了的发展、特点和功能，并介绍了微积分的发展和应用，最后介绍了利用求解微积分的必要性.2应用语言的符号预算工具箱，可以很容易地求解极限问题，微分问题，积分问题等微积分基本问题.利用本章介绍的方法读者可以具备依赖语言及其符号运算工具箱提供的强大函数直接求解一般微积分运算问假设已知函数fx，则极限问题的一般描述L

f

(2-来说，还可以如下定义单边极限（或称左右极限）xLx0

f(xL2xx

f

(2-x从左侧趋近于x0限.极限问题在符号运算工具箱中可以使用limit()函数直接求出该函L

(f,x,x0

%求极 (2-Llimit（fxx0left'或right')

xf，或’right’选项.下面将通过例子演示求解极限的方法2-1

limx(1a)xsinb 利用语言，应该首先申明a、b和x为符号变量，然后定义函数或序列表达式，最后调用limit()函数求出给定函数的极限，得出的极限为 xa1 x1 xsin

ex3. 利用语言的limit()函数，可以容易地求出单边极限为syms用下面的语句还可以绘制出（-0.1,0.1）holdon;可见，对这个例子来说，即使使用limit（f,x,0)回顾原始问题，其中采用x0若关于xa,函数f(t)的左右极限相同，则该点称为第一类间断点，否则2-3试分别求出tant函数关于2 由下面命令可以分别求出函数的左右极限，分别为L1和L2symst;3n2sin3n2sin n解序列极限的求解方法与函数极限完全一致：先符号变量，然后利用limit()函数直接求解.由下面的语句可以得出此0.symsn;2-5试求出极限

n

)tann(x

n(x21)

难，可以申明两个符号变量——n和x，这样用下面语句可以直接得出问题的限为exx2symsxn;2-6试求出limxn和limxn. 新版的符号运算工具箱由于支持分段函数，所以可以较好symsxnreal;得出的结果均为分段函数，其中L2这两个极限的结果可以解读成（其中L1结果最末一个条件似乎有误，应该包括x=0,即-1<x<1),x无极限，x

L2,n0,n有些函数，如sinxx的极限是不存在的，但可以通过MuPAD函数例2-7假设a,b>0,试求出f(t)=asin8x2+bcos(2x-2)函数在x时极限的区间. 利用底层的MuPAD命令可以解出该极限的区间为（-a-b,a+b).symsabpositive,syms函数的描述需要通过底层MuPAD语句来实现，在此编写了一个接口函数Functionf=piecewise(varargin),str=[];fori=1:2:length(varargin),catch,error(’Inputargumentsshouldbegiveninpairs.’),end该函数的调用格式为fpie(vr1,vr2,...)vr应该成对出nd、or和not表示.该函数使用了try,catchend-1下标舍弃它.1.1sign(x),|x|2-

yx,|x|

解首先描述分段函数，然后绘制该函数曲线.由于符号运算本身的局限性，分段函数定义的符号变量不能用ezplot()函数直接绘制.Symsx;x0=-如果|x|1.1在数学上表示成-1.1x1.1，也可以将其理解成x1.1且x1.1，这时相应的字符串表示应该为’x>=1.1andx<=-1.1’.设有二元函数f(x,y)，该函数的累极限定义为

f(xyL2lim

f(x,

(2-xx0

yy0limit()函数22-92

e1/(y2x2)

x

1)xa2y2]y

y 由于涉及y，在下应该假设y为正数，所以本例中的问题y以用下面的语句直接解出，其极限值为ea2symsxsymsyLy

f(x,2-10limxy

xyx2

)x20，一般可以认为原函数的二重极限也为0.xy2、yx2symsxy;L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf),L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)limit()函数，feval()limit()函数的嵌套使用方法，并结合例子介绍3如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用diff()函数解出给定函数的各阶导数.diff()f1difffxn)，其中，f为给定函数，x为自变量，这两个变量均应该为符号型的，nn则将自动求取一阶导数；如果f表达式中只有一个符号变量，还可以省略变量x.例3-1给定函数f(x) sin ，试求x24x

d4f.解函数的导数和高阶导数问题可以很容易地利用符号运算工具箱语句求解.可以首先申明x为符号变量再用语句描述原函数然后调用diff()函数就能直接得出函数的一阶导数.symsx;f(x)

x24x3-(x24x3)ezplot()函数可以直接绘制出原函数与得出一阶导数函数的曲线，如图holdon;4得出的结果比较冗长，由LATEXx24x

4(2x4)cos(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24x

(2x4)3cos(x24x

(2x4)cos(x24x

(2x4)4sin(x24x

(2x4)2sin(x24x

sin(x24ximple()inx或oxollt(imple(f4o(x))ollt(imple(f)in(x)),则可以得出下面给出的更简洁的结果44(diff()面给出令一般可以再10s内获得该函数的100阶导函例3-2试推导函数F(t)t2f(t)sint的2阶导函数，并得出f(t)et 直接推导出F(t)3symst;d3F(t)

d3f(t)[dt3

d2f

cost

df

sintf(t)cost]t

d2f

df

cost6f(t)sint]

df

sint6f(t)cosf(tet31y(t)2et(t2costt2sint6tcost3cost3sint)13-3H(x)

e4x 3x24x 4x22 语言的diff()函数可以直接用于已知矩阵函数H(x)的导数计算，即对H(x)的每个元素hi,j(x)直接求导，构成新的导数矩阵N(x).symsH=[4*sin(5*x),exp(-4*x^2);3*x^2+4*x+1,sqrt(4*x^2+2)]H(x)

500cosH(x)

512x3e4x224212

(2x21)5/

(2x21)3/2dn若已知参数方程y=f(t),x=g(t),

可以由递 求dy

f'g'd2y

f'

d(dy

dtg'

g'

dt

g'dny

dn1ydt(dxx1)

1y'并没有提供可以直接用于参数方程的高阶导数求取的函数，所以functionIfmod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,ifn==1,result=diff(y,t)/diff(x,t);3-4y

(t

,x

cos(t

,

d3. 由前面给出的函数调用格式，可以立即得出所需的高阶导数symst;d3y

t

t

(ct

t

t

t t

t)5的符号运算工具箱中并未提供求取偏导数的专门函数，这些偏导数仍然可以通过diff(函数直接实现.假设已知二元函数f(x,y)若想求mnf/(xmynf1=diff(diff(f,x,m),y,n),或3-5zf(xyx22x)ex2y2xy的一阶偏导数，并用 用下面的语句可直接求出z/x与z/symsxz(x,y)ex2y2xy(2x22x3x2y4x2z(x,y)x(x2)(2yx)ex2y2x(3,2),y(2,22[x0,y0]=meshgrid(-3:.2:2,-Surf(x0,y0,z0,30),zlim([-0.3quiver()函数绘制出引力线，该引力线可以叠印在由comtour()函数绘制出的等值线上，如图3所示.其中，引力西安回执函数的详细信息可以由docquiver命令进一步列出.contour(x0,y0,z0,30),holdon; 4f(x,y,3-6f(xyzsinx2y)ex

由下面的语句申明自变量及函数，则可以用语句立即得出symsxyF4zexyz

2

yxyx

已知隐函数的数学表达式为f(x1,x2,...,xn)0，则可以通过隐函数对相关变 求出xi/xj

f(x1,x2,...,xn)/f(x1,x2,...,xn)/

(3-fxixjdiff()函F1difffxjdifffxi）对二元函数f(x,y)来说，如果求出了yxF1(xy（，2

F(x, F(x,F2(x,y)

n

(x, (x,Fn(x,y)

(3- 上述命令用语言可以很容易地实现，后面将通过例子演示.此外，上1容易地编写出隐函数fnfnyxn1function mod(n,1)~=0,error(’nshouldpositiveinteger,pleasecorrect’)else,F1=-simple(diff(f,x)/diff(f,y));dy=F1;例3-7考虑3-15f(xyx22x)ex2y2xy0， 3yx和x3 symsx可以得出偏导数为y

F1(x,y)

3x36x24x42x(x2y)(x2)

122下 求x2这些语句可以求出y 3x4F2(x,y)2 -54x9(324(52y2264y(64y4384y3816y2416y(192y4768y3672y23F3(x,y)x33-8x2xyy23 利用下面的语句可以直接求出函数的各阶导数，另外，由x2xyy23， 上 令可以得F2xy,F x2 其中，使用的subs()命令有时似乎替换得不完全，F41944(x2F4

(x2 多元函数的Jacobi假设有nmy1f1(x1,x2,...,xnyf(x,x,...,x ymfm(x1,x2,...,xnyi对xjy1/

y1/

y1/xnJ

/

/

/xnn

(3-mm

/

/

/xn该矩阵又称为Jacobi的概念.Jacobi矩阵可以由的符号运算工具箱中的jacobian()函数直接得，其调用格式为J=jacobian(y,x),其中，x是自变量构成的向量，y是由各个函数n例3-9已知球面坐标到直角坐标的变换xrsincos,yrsinsin,zrcos试求出函数向量[x,y,z]对自变量向量[r,,的Jacobi矩阵解3Jacobisymsrthetaphi;x=r*sin(theta)*cos(phi);J=jacobian([x;y;z],[rthetaphi])可以得出JacobiJsinsin

rcos

rsincos

对一个给定的nf(x1x2xnHess 12f/1

2f/x

2f/xx12nn12nn H

2f/x

2f/

2f/x

(3-2 22f/x 2f/x 2f/x2 n可见，该Hess矩阵实际上就是标量函数f(x,y)的二阶偏导数矩阵.新版hessian()Hess矩阵，调用格式为H=hessian(f,x),其中向量x[x1,x2,...,xn].早期版本的符号工具箱并未供hessian()H=jacobian(jacobian(f,x),x)直接求解例3-10重新考虑例3-5中给出的二元函数，试求其Hess矩阵. 下面语句可以直接求取该函数的Hess矩阵symsx得出的结果（或早期版本嵌套调用jacobian()函数）2 4x2(2x2)(2xy)2x2(2xx2)(2xy)2Hexyxy2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2x2x(2x2)(x2y)x2(2xx2)(x2y)(2xx(x2)(x24xy4y2 偏导数，多元函数的Jacobi矩阵以及Hess偏导数矩阵的算法，并介绍了diff()函数，diff()函数的嵌套使用方法，jacobian()函数以及hessian(f,x)函数。最后通过4bF(x)f(x)dx,af(x)dx,f(x1,x2,...,xn)dxn

(4-f(被称为被积函数.第一个积分表达式称为不定积分，函数称为原函数.第二个积分式称为定积分.第三个积分称为多重积分.在传统微积分学课程中，求解不定积分问题通常需要灵活熟练地掌握和运用各种不同的积分度上取决于用户的经验和技巧.接下来侧重于介绍基于的积分问题客观求解方法.int()函数，可以直接用来求取符号函数的不定积分.F=in(f,x).f中只有一个变量，则调用语句中的x可以省略.值得的是，该函数得出的结果F(x)是积分原函数，实际的不定积分应该是F(x)+C构成的函数族，其中，C是任意常数.对于此类的函数，符号工具箱提供的int()函数可以用计算机代替4-13-1diff()f(x)函数的一阶导解ymsx;y1=diff(y);y0=in(y1)

sinx2(x

sin2(x

4次积分，则可以用下面语句判定正确性.

，(x1)(x原函数完全一致，故说明对给定的例子来说，得出的结果是正确的4-2x3

axdx

x(43 43

3x)sin2ax(

3x2

)cos2axC4 用语言的符号运算工具箱可以直接得出下面的化简结4symsax;f

(2a4x43cos2ax6a2x2cos2ax4a3x3sin2ax6axsin2ax右侧的表达式也输入到工作空间，将二者相减并进行化简，从而得其差为316a4%认为题中的等式得证.4-3f(xex22g(xxsinax4ex22的积分问题 首先考虑f(x)ex2/2的不定积分求解.用语言可以给出下面symsx;

/2erf(x

2).殊符号函数erf(x2xet2dt.0由vpa()函数求取其具体数值.再考虑一真正不可积的函数g(x)xsin(ax4)ex2/2，用语句可以symsax;found解析解不存在如果求出了某个函数f(x)的不定积分为F(x)+(,b)等于IF(b)-F()..rf(x)分不可直接求解，但需要得出rf(1.5).在语言中仍然可以使用int()函数来求解定积分或无穷积分问题该函数的具体调用格式为I=int(f,x,a,b)，其中，x为自变量，(a,b)为定积分的积分区间，求解无穷积分时，允许将a、b设置成-Inf或Inf，如果得出的结果不是确切的数值，还可以试着用vpa()函数得出定积分的解.有时，定积分可以依赖定积分直接求解.如果f(x)的不定积分原函数为F(x)，则其在(a,b)区间的定积分可以由F(b)-F(a)求出.4-4f(xex22a=0,b=1.5或时的定解若要求解该问题，需要给出如下的语symsx;I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5),vpa(I1)

I1

/2erf

2/4)

I2

/

2x24-5试求解函数边界的定积分问题I(tcost(2x23x1)2dx解:提供的int()函数还可以求解函数积分区域的定积分问题，题的定积分可以由下面的语句直接求解.对本例来说直接使用int()函数求symsxf=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;I1=int(f)I(t)

2cost

cost

2e2t

e2t1多重积分问题也可以在语言环境中直接求解，但需要根据实际情有解析解，而需要采用数值方法求解原始的积分问题.之后介绍4-6已知下面的三元函数F(x,y,z),试求出F(x,y

zexyz

2

22

222

224

2y)解对该函数进行积分.先对zyx积分两次，经过化简，则得出结果为f1ex2yz2sinx2y.symsxyzxxy，仍可以得出一致的结果4-7试求解三重定积分问题24zex2yz200 用如下的定积分求解语句可以立即计算出所需的三重积symsxy这时得出的结果为(e21)(ln4Ei(4,其中，EulerEi(z)Ei(z)zett1dt.值解这样，原始问题的精确数值解可以由vpa(ans得出，其结果为 本章通过不定积分，定积分和无穷积分三个方面介绍不定积分的解，介绍了int()函数的用法，并通过例子具体介绍不同问题的算法.5单变量Taylor如果在x=0点附近进行Taylorf(x)aaxax2...a

(5- 其中，系数ai可以由下面的求ai

d

f(x),i

该幂级数展开又称为Maclaurin级数，若关于x=af(x)b1b2(xa)

其中，各个系数bibi

d

f(x),i

为%关于x=a点进行k次Taylor以省略.K6项.aa=0的Taylor级数展开.早期版本的taylor()函数调用格式与此不同，为F=taylor(f,x,k,a).下面将通过例子演示Taylor幂级数展开的方法.5-13-11f(xsinxx24x3Maclaurin9x=2x=ataylor幂 先用下面的语句输入已知的函数，这样就可以调用taylor()函数导出其Maclaurin幂级数展开的前9项为

59 symsx;多变量函数的Taylorf(xf(x1x2xn的Taylorf(x)

f(a)[(

an

]f

xa1[(

a)

a)]2f

(5-2！

1n1n

n

1[(

a)

a)]kf

1n1n

n

aa1a2an为Taylor幂级数展开的中心点.Ptaylor(f,[x1,x2,...,xn],[a1,a2,...,an],Order，k)其中，k-1为展开的最高阶次，f为原多变量函数例5-3试求函数f(x,y)(x22x)ex2y2xy的各种Taylor幂级数展开. 使用给出的函数就可以立即得出关于原点的Taylor幂级数展开symsx7F(x,y)73

(y

1)x62

(2

y

7(3

2

2y(2

y

(y5

y2424

2y (636

2

现在求取关于x=1,y=asymsF=taylor(f,[x,y],[1,a],’Order’,3),F(x,y)ea2a1[(a1)(a2)2](x1)2ea2a1(2a1)(a2ea2a1(ay)2[(2aea2a1(ay)(xF(x)1ea2a1 14a24ax2f(x)，x[LL],T=2Lf(xf(KTx，k

f(x)a0

cosnxb

a

Lf(x)cosnxdx,n L

(5-b1Lf(x)sinnxdx,n L Fourier级数，而anbnFourier系数.x(ab 计算出周期L=(b-a)/2,xxxLa,f(x映射成(-区间上的函数，可以对之进行FourierxxLa映射回x数即可Fourier系数与级数的现成函数.其实由上述不难编写出解析或数值的Fourier级数求解函数.其中解析函数如下Funcion[F,A,B]=fseries(f,x,varargin)ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);B=[];F=A/2;forn=1:pA=[A,an];B=[B,bn];Ifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);default_vals()这个函数后面还将用到.FunctionIfnargout^=length(vals),error(’numberofargumentsmismatch’);Else,nn=length(varargin)+1;fori=nn:nargout,该函数的调用格式为[F,A,B]=fseries(f,x,p,a,b),其中，f为给定函数，x为自变量，p6，a、bx的区间，可以省略其默认值[,]，A,B为Fourier系数向量，F为展开式.5-4yx(xx2x0,2的Fourier级数展开 上述给定函数的Fourier级数展开可以很自然地用下面的语句得syms12项的Fourierf(x)12sinx3sin2x4sin3x3sin4x

sin5x1sin6x

f(x)

.n1n3sin12Fourier级数展开对原函数的拟合情况，可见，ezplot(f,[-pi,3*pi]),holdon,symsum()可以用于已知通项的有穷或无穷级数求和.该函数调用格式为Ssymsumfkkk0knfk为级数的通项，k为k0和kninf.该函数nknSk

(5-fk表达式中只含有一个变量，则在函数调用时可以省略k量例5-5计算有限项级数求和S20212223 用数值计算方法可以由下面语句得出结果为formatlong;

由于数值计算中使用了double16以得出的记过不是很精确.symsum()函数，或至少将2定义为符号量，就可以用sum()函数求解.对原始问题稍扩展一201项的级数求和可以用下面的语句精确求出为，0602751算法无法精确做到的sum(sym(2).^[0:200])%symsk;5-6 1 4

7 如果想借助的符号运算工具箱则可以立即得出结果为syms此级数求和亦可以用数值方法求得.假设求 项的和这时可以0.33333332222165double小数位. formatlong;s1达到10-6m107时，通项值10-15只有16位，所以计算通项时16位后的数字加到累加量上就了，这就是数值5-7J

.n0(2n1)(2x 出结果.这里给出的求和问题中含有变量x，所以仅靠数值运算的方式不可能得最简结果为2atanh(1/(2x+1))，并给出收敛条件x>0或x<-1.symsnx;Ezplot(2*atanh(1/2*x+1))),hold例5-8试求解级数与极限综合问题lim[(11111)

语言的符号运算工箱直接求解.从题中给出的式子可ymum(1/m,1,)由下面的语句求解symsmn;limit(symsum(1/m,m,1,n)-该语句得出的结果为Euler常数，其值可以由精确地显示出来，如vpa(ans,70)命令 lnn样做前后为无穷大，求极限的结果将是不定式NaN.5-9

1)sin

2)sin2(1n1)sin(n1)

k解从上面给出的问题可见，级数的通项为a(1k/n2)sin(k/n2)k且k1,2,n1,S2symsnk;bPfnb

新版的符号运算工具箱提供了求解函数symprod()直接求取序列求Psymprod(fnna,b). k5-10试求出序列的有限项乘积Pn(13kk 由下面的语句可以立即得出该序列的有限项乘积与无穷乘积symskn;

3)(n

3i))(n

3i)(n

3 ，P n(n 5-11 1

-135

-

nn 这个问题是级数求和问题，其通 为(1)n[(2k1)/(2k)]，kn0,1,,故由下面的语句可以直接得出原问题的解为S

2/symskn,S=symsum((-1)^n*symprod((2*k-5-12

x/nP n 下面语句可以直接得出原问题的symsn

x为负整P

/(x

其他，其中为Euler常Taylor幂级数展开，Fourier级数展开，级数求和的计算以及序列求积等几个方面介绍了函数级数问题的求解，并介绍了taylor()函数symsum()函数的用法，并通过例子详细介绍了具体的算法.第6章曲线积分及求I1

f(x,y,

(6-若x、y、z均由参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)f()(dx)2((dx)2(dy)2(dz简记作ds x2y2z2 其中，f(x,yzfP(xyzQ(xyzR(xyzd亦为向量，若曲线可以由参数方程表示成t的函数，记作x(t),y(t),z(t)ds dxd dt

(6-则两个向量的点乘可以由两个向量直接得出，这样就可以利用6-1试求出曲线积分

xyx2y2

dx

xyx2y2

dy，lx2y2a2 若想按圆周曲线进行积分，则可以写出参数方程(0t2,这样，用下面的方法可以直接求出曲线积分为symssymsapositive;x=a*cos(t);6-2试求出曲线积分的值(x22xy)dxy22xy)dy，llyx2(1x1) 其实，曲线给出的方程已经是关于x的参数方程，且x对x的导数显然为1，故可以用下面的语句求出曲线积分的值为-14/15symsy=x^2;F=[x^2-2*x*y,y^2-2*x*y];ds=[1;diff(y,x)]; 第一类曲面积I[x,y,I[x,y,f(x,1f2f2(6-其中，xy例6-3试求出SxyzdSS是由四个平面x=0,y=0,z=0x+y+z=a 记这四个平面为S1,S2,S3,S4,则原积分可以由

S1S2S300，所以只需S4S4平面的数学表示为z=a-x-yIsymsx

3a5/120symsapositive;给出，则曲面积分可以由下面 求

I[x(u,v),y(u,v),z(u,

EGF2Ex2y2z2,Fx

y

z

，Gx2y2z

u u

例6-4(x2yzy2x=ucosv,y=usinv,z=v的0ua,0v2

其中S为螺旋曲面 由上述可以立即得出积分结果a2I12(2a(a21)3/2a28

symsusymsapositive;例6-5试求(x2y2ds，其中lyxyx2l 应该用下面的指令绘制出给定的两条曲线，如图4所示.x=0:.0.01:1.2;y1=x;y2=x.^2;plot(x,y1,x,y2),holdon,ii=find(x<=1);yy=[y2(ii),y1(ii(end):-1:1)];symsx;

I3

2

5

第二类曲面积 IdVP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,

(6-S SSzf(x,y给出，被积函数P,QRdVdydzdxdzdxdy]TIS[P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos其中，zf(x,y

(6-1f1f2f

-

,cos

f

,cos 1f21f2f 1f2f 1f2f IPfxdxdyQfydxdzA2A2B2CCA2B22

(6-A2A2B2C

,cos

,cosAyuzvzuyvBzuxvxuzv,Cxuyvyuxv

z6-5试求出曲面积分(xyz)dydzSa2b2

1 可以引入参数方程x=asinucosv,y=bsinusinv,z=ccosu,且0u20v2，200CRdudv，RxyzCxuyvyu可以用下面的语句求出所需的曲面积分为2abc3symsusymsabcpositive;面积分四个方面介绍了曲线与曲面积分的求解，并通过例子介绍了如此类问题转化为一般积分的算法，并通过语言的符号运算工具箱求第7章微积分问题数学模型应用实例及求在本章中，主要以2010高教社杯大学生数学建模竞赛题目A题：储油罐的变位识别与罐容表标定问题，来介绍微积分问题的求解在数学模背景资料与条1234（端平头的椭圆圆柱体4.1011cm123储油罐截面示意图4问题分我们需要掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用罐体无变位和倾斜角为4.101cm柱体倾斜角为4.10个模型与excel附件表格1求解出差值从而确定罐体变位对罐容表的影响1cm基本假假设纵向倾斜角符号说S——侧面面积a——椭圆长半轴bH模型的建立于未变位时模