高中数学新课标步步高

高中数学新课标步步高§3.4定积分1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限．2．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx.3．定积分的运算性质(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)．(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(a<c<b)．4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|，即ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃf(x)dx＝ʃf(t)dt.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0.(√)(3)若ʃf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)(4)若f(x)是偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx.(√)(5)若f(x)是奇函数，则ʃf(x)dx＝0.(√)(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是ʃ(x2－x)dx.(×)2．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5

B．8＋25lnC．4＋25ln5

D．4＋50ln2答案C解析令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ(7－3t＋)dt＝(7t－t2＋25ln(1＋t))|＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则ʃf(－x)dx的值等于()A.B.C.D.答案A解析由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是ʃf(－x)dx＝ʃ(x2－x)dx＝|＝.4．(2013·湖南)若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析ʃx2dx＝x3|＝×T3＝9.∴T3＝27，∴T＝3.5．由y＝cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________________________．答案解析如图：阴影部分的面积为.题型一定积分的计算例1(1)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于()A.B.C.D．不存在(2)若定积分ʃdx＝，则m等于()A．－1

B．0

C．1

D．2思维启迪(1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算；(2)利用定积分的几何意义计算．答案(1)C(2)A

解析(1)如图，ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx＝x3|＋|＝＋＝.(2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃdx的值就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是一个半径为1的半圆，其面积等于，而ʃdx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为个圆，于是得m＝－1，故选A.思维升华(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．(1)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.(2)sinxdx＝________.答案(1)1(2)0解析(1)由题意知f(1)＝lg1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.(2)由于函数y＝sinx在区间[－，]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sinxdx＝0.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪求出两切线交点M的坐标，将积分区间分为两段、.解由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，过点B的切线方程为y＝－2x＋6.设两切线相交于点M，由消去y，得x＝，即点M的横坐标为.在区间上，曲线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间上，曲线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．因此，所求的图形的面积是S＝[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝x2dx＋(x2－6x＋9)dx＝＋＝.思维升华对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．答案解析由已知可得f(x)＝则y＝xf(x)＝画出函数图象，如图所示，所求面积S＝(10x2)dx＋(－10x2＋10x)dx＝0＋1＝＋(－＋5)－(－×＋5×)＝.题型三定积分在物理中的应用

例3一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在s～6s间的运动路程为__________．思维启迪从题图上可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．答案m解析由题图可知，v(t)＝，因此该物体在s～6s间运动的路程为s＝v(t)dt＝2tdt＋ʃ2dt＋ʃdt＝t2|1＋2t|＋|＝(m)．思维升华定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求变力F(x)对质点M所做的功．解变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝ʃF(x)dx＝ʃ(x2＋1)dx＝(x3＋x)|＝342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.函数思想、数形结合思想在定积分中的应用

典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．思维启迪(1)题目要求是求S1与S2之和最小，所以要先构造S＝S1＋S2的函数，利用函数思想求解．(2)S1、S2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量．规范解答解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.[2分]S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.[4分]所以阴影部分的面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．[6分]令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.[8分]t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.[10分]所以当t＝时，S最小，且最小值为.[12分]温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识．(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.方法与技巧1．求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(3)利用定积分的几何意义求定积分2．求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形．(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．失误与防范1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．(sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于()A．－1

B．1

C．－

D.答案A解析＝－a＋1＝2，a＝－1.2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C.D.答案D解析＝sin－sin＝.3．(2013·江西)若S1＝ʃx2dx，S2＝ʃdx，S3＝ʃexdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1<S2<S3B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1D．S3<S2<S1答案B解析利用定积分的几何意义知B正确．

4．图中阴影部分的面积是()A．16

B．18C．20

D．22答案B解析S＝ʃdy＝|＝18.5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为()A.J

B.JC.J

D．2J答案C解析ʃF(x)×cos30°dx＝ʃ(5－x2)×dx＝×|＝，∴F(x)做的功为J.二、填空题6．ʃ(x2＋1)dx＝________.答案12解析ʃ(x2＋1)dx＝|＝×33＋3＝12.

7．如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案解析由，得x1＝0，x2＝2.∴S＝ʃ(－x2＋2x＋1－1)dx＝ʃ(－x2＋2x)dx＝|＝－＋4＝.8．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________m.答案6.5解析s＝ʃ(3t＋2)dt＝|＝×4＋4－＝10－＝(m)．三、解答题9．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，－1)．故所求面积S＝ʃdx＋ʃdx＝|＋|＝＋＋＝.10．汽车以54km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解由题意，得v0＝54km/h＝15m/s.所以v(t)＝v0－at＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t＝0.解得t＝5.所以开始刹车5s后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s＝ʃv(t)dt＝ʃ(15－3t)dt＝|＝37.5(m)．故汽车走了37.5m.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则ʃf(x)dx的值为()A.B.C.D.答案A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃdx＝x3|＋lnx|＝＋1＝.2．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．答案－ln2

解析S＝ʃxdx－ʃdx＝x2|－lnx|＝－(ln2－ln1)＝－ln2.3．作变速直线运动的质点的速度是v(t)＝(单位m/s)(1)该质点从t＝10到t＝30时所经过的路程是________m；(2)该质点从开始运动到结束运动共经过________m.答案(1)350(2)1600解析(1)s1＝ʃv(t)dt＝ʃtdt＋ʃ20dt＝＝350.(2)s2＝ʃv(t)dt＝ʃtdt＋ʃ20dt＋ʃ(100－t)dt＝1600.4．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P(，0)，求过P的切线l与C围成的图形的面积．解设切点坐标为(x0，y0)，y′＝6x2－6x－2，则f′(x0)＝6x－6x0－2，切线方程为y＝(6x－6x0－2)(x－)，则y0＝(6x－6x0－2)(x0－)，即2x－3x－2x0＋1＝(6x－6x0－2)(x0－)，整理得x0(4x－6x0＋3)＝0，解得x0＝0，则切线方