《探索勾股定理》教学设计

《探索勾股定理》教学设计

《探索勾股定理》教学设计

嘴角上翘

一、教材分析

勾股定理历史悠久，是初中数学中非常重要的一个结论，称为"几何学的基石",在数学学习中有重要的地位。它是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。

二、学情分析：

八年级学生已经学习了三角形的一些基本知识；也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。本节课在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。

但是这个年龄的孩子的思维偏重于直观。而勾股定理的探究方法虽然很多，但对于八年级的学生，如果直接让探究直角三角形三边之间的关系，学生大多会思考三边之间的一次关系，而较难想到三边之间的平方关系，可能会陷入较长时间的困惑，而且没有教师的指引可能最终都不能走到正确道路上来，为此，从特殊的等腰直角三角形入手，提出问题，课堂中，注重学生的动手操，引导学生从具体到一般，层层递进，引导学生亲历定理的产生和验证过程，作为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。

让学生经历勾股定理的探究过程，进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值。

三、教学目标：

1、让学生亲历"发现问题—提出问题—一解决问题"、从"特殊到一般"的过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想和方法。

2、让学生经历实践操作、计算分析、拼图实验的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值。

3、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题

四、教学重点：勾股定理的探索过程和简单的应用

五、教学难点：勾股定理的探索过程

六、教学方法：小组合作、教师点拨

七、教学资源：教材、多媒体

八、教学准备：已剪好的若干个边长为整数的直角三角形、方格纸、几何画板课件

九、教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、发现问题

老师：同学们，我们在七年级已经学习过三角形的一些基本知识，我们也了解了一些特殊的三角形，你知道的特殊的三角形有哪些？

对于等腰三角形和等边三角形你知道些什么？直角三角形呢？边与边的关系呢？（课件出示）

老师提出问题，学生独立思考，同桌两人交流讨论，再由代表公布。

这是对特殊的两类三角形的回顾，从学生从原有的认知水平出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标。

二、提出问题

Rt△ABC中，∠C=90°，请问：边a、b、c之间有何关系？该如何研究？

（教师板书今天的研究目的）

提出问题，学生思考，该如何研究呢？测量？还是其他方法呢？

以问题串的形式，引发学生思考，测量后学生不能发现规律，进而引出研究问题的方法：可以从简单的特殊的入手。

三、如何解决

三、如何解决

三、如何解决

1、特殊入手——简单的

问题1.已知Rt△ABC,∠C=90°

若a=b=1,你能写出含c的等式吗？

若a=b=2,你能写出含c的等式吗？

若a=1,b=2呢？

思考：

（1）（2）的条件有什么共同点？（3）的条件与（1）（2）有什么区别？

（1）（2）的结果有什么共同点？c2=2,c2=8能让我们想起什么？

学生难以得出时，老师给予适当的提示，可以从面积入手。

学生思考，并畅所欲言。

学生不难得出平方和正方形的面积有关系，所以引导学生利用面积来探求关系。

当老师拥有完美的方法解决问题的时候，学生好奇的不仅是老师解决问题的方法，学生更加关心的是老师是如何想到这一方法的，从特殊的简单的入手，是学生容易接受的。

让学生体会到当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究。

从学生认知基础、已有的学习经验出发，将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系，让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生，增强探索问题的信心和欲望。

2、分析方法

问题：如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2?

方法2.用网格1帮助

你能用上述方法验证问题（2）的结论吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为8?

问题：你能用上述方法帮助解决问题（3）吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为5?

教师引导，学生观察不难得出。

类比边长为1的等腰直角三角形在网格中得出斜边的平方为2的方法，学生不难想到在方格纸中利用面积得到。

当学生在方格纸上画出这个正方形后，采用补、拼、割的办法得出。

对于问题（3），当学生在方格纸上画出这个正方形后，让学生小组讨论交流，选代表发言。学生类比前面方法，采用割或者补的办法得出。

引导学生求这个正方形面积的方法可以又多种，拓展学生的思维。

让学生在问题（1）的启发下，得出方法，自己动手实践，体会成功的喜悦，激发内驱力。

展示学生的方法：割的方法，补的方法，平移的方法，旋转的方法，（旋转的方法是正确的，但是它只适应于斜边是整数的情况，况且学生在此时还不会计算斜边的长，因此这种方法没有一般性，如果学生有提到，教师应予以解释。）肯定学生的研究成果，进而让学生进行总结，把图形进行割和补，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形。让学生体会数学的转化思想。

3、应用方法

问题1.（4）若a=2,b=3.你能求c2吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为13?

让学生自己在方格纸上画出直角边分别为2和3的直角三角形，类比前面的方法，得出c的平方。

通过此活动锻炼了学生动手能力，体现了活动数学的思想。同时也是对割、补方法计算正方形面积做了加深理解。

4、观察归纳

问题2.梳理上述四个问题的边长，并思考a、b、c之间有什么联系？

5、。验证结论

问题3.（1）在网格中能验证a2+b2=c2吗？

活动：在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为边向外做出三个正方形，求出此时三个正方形的面积。

学生通过观察表格，初步得出猜想：a2+b2=c2

学生活动时，教师要积极的参与到学生活动中去，其中以斜边为边向外作正方形时，另两个顶点位置的确定是这一活动的难点，教师巡视是如果有学生在这两处存在问题的话，教师就以中国象棋马走日，连续走四次所形成的线路图给学生启发。

梳理四个问题，学生归纳总结，得出猜想，让学生初步得到直角三角形三边之间的关系猜想，为进一步的探索明确方向。

此活动是一个学生全面经历探究的过程，也是割和补的方法的再次应用，让全体学生再次感受转化思想，体验成功的乐趣。此时要给学生充分的时间，相信在同学们计算中学生会得到更多的一般情形，由此为归纳定理奠定基础。这样归纳的结果也更具一般性，学生们的印象也更加深刻。

让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻。

6、。结论一般化

（1）通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们还有什么疑问吗？

（2）网格有局限性，对于非整数边长的直角三角形，结论是否成立？

a、插入几何画板：

提问：在老师拖动的过程中，仔细观察，变化的是什么？不变的是什么？

b、学生拿出四个全等的直角三角形拼图。

学生留下思考时间，提出问题：我们画的都是格点三角形，直角边的长度都是整数，如果不是整数会不会成立？

问题激发学生进一步探究的兴趣。

让学生仔细观察，从而得出结论。

通过学生观察几何画板、亲自动手拼图、运算推演、互相交流，发现以直角三角形的各边为边所作的正方形面积之间的关系，由特殊到一般，使学生印象深刻，对于勾股定理的得出就水到渠成了，并让学生体会成功的乐趣。

引导学生从特殊到一般，发现直角三角形三边之间的数量关系。这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结，交流，表达。

四、归纳应用

1、归纳

（1）我们这节课是探索直角三角形三边数量关系。至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？

（2）直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c.那么（板书勾股定理内容，进而给出字母表达式，并给出勾股定理的几种表达式。）

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，所以这个结论称为勾股定理。（如图1---5所示）（板书）其实这个结论早在公元前1000年被我国的商高发现并应用于测量土地，在国外，由于是古希腊的毕达哥拉斯于公元前500年发现的，所以此定理又称为毕达哥拉斯定理。

点出本节研究内容，也就是本节课题——探索勾股定理。

回顾思考：

1.怎样探索获得勾股定理的？

2.你体会到的数学方法有哪些？

之后教师梳理。

思考：

（1）勾股定理的使用条件是什么？

（2）有什么用？

给学生留有思考时间。

由学生用自己的语言概括自己所发现的规律。

学生突破本节学习目标。

课堂小结，让学生畅所欲言。

先让同桌之间相互说一说，再找同学分享给全班同学，其他同学不断补充，同学谈完后，老师梳理，

强调：勾股定理只有在直角三角形中才成立。

让学生自己总结归纳，培养学生的语言表达能力，并了解学生所学。

渗透勾股定理的历史，让学生了解勾股定理历史渊源深厚，激发学生的爱国情怀和民族自豪感。

以这样方式引出本节课题，回扣了一开始提出的研究目的：直角三角形三边之间的关系，渗透勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系。

这样不仅引导学生回顾本节所学，并培养学生的语言表达和归纳能力，同时也让学生对本节的探索流程有了更深的理解和认识，为下一节课勾股定理的证明做好铺垫。

2、应用

（1）求下列图形中未知数x,y,z的值。

（2）求下列三角形未知边的长。

（3）已知等边三角形ABC的边长是6cm.求：

（1）高AD的长；（2）△ABC的面积。

学生独立完成，然后小组交流，每组派代表给出本组结论。

展示答案，学生互相评价，总结类型、方法。

充分利用课本上的习题，巩固新知。

通过对勾股定理的基本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边。

让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则。

让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则。

拓宽学生的思维，体会数学知识之间的联系，认识数学的转化思想。

一段紧张的探究和简单应用之后，给出一段关于勾股定理验证方法和文化价值的拓展，这样既激发了同学们的兴趣，又增加了课堂的愉快气氛。让学生感受到勾股定理的历史并了解一定的证明方法，增加了学生学习数学的兴趣。

五、达标检测

六、拓展视野

A组：（填空题）已知在直角三角形ABC中，∠C=90°

①若a=3,b=4,则c=________;②若a=6,c=10,则b=_______;③若c=25,b=15,则a=_______.

B组：学了勾股定理后，小明和小丽遇到这样一个问题："在Rt△ABC中，如果a=3,b=4,则c=5."小明认为这个说法正确的，小丽觉得有问题，你觉得呢？并说明理由。

1、验证方法：古今中外，勾股定理的验证方法达500多种，上至总统下至数学爱好者。

2、文化价值：

（1）20XX年国际数学家大会会标

（2）目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的"人.为此向宇宙发出了许多信号。如地球上人类的语言。音乐。各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议。发射一种反映勾股定理的图形。如果宇宙人是"文明人.那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

对于A组，采用学生独立完成，出示答案，同位互换，互批，小组计分，当堂反馈。

B组，根据情况，可以适当引导学生解此题的思路。

一段紧张的探究之后，结尾给出一段优美的音乐，配以老师的解说，让学生的情感再次升华。

设计两组题目，尊重学生的个体差异。

B组题目可以拓宽学生的思维，体会分类讨论思想。

学生独立完成，出示答案，同位互换，互批，小组计分，当堂反馈。