【教学】《 角平分线》 示范教学

第一章三角形的证明1.4角平分线第1

课时

学习目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.情境导入

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）？S情境导入

角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定集贸市场位置利用此性质就能完成．探究新知此图片是动画缩略图，本动画资源演示利用尺规作图画已知角的平分线的方法，适用于角平分线的教学.若需使用，请插入【情景演示】尺规作图-作一个角的平分线.探究新知已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．探究新知

角平分线上的点的性质？

怎么得到的？

请尝试证明这一性质.角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．量角器，也可以对折角如果是没法折的角，用量角器、尺规作图。探究新知证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP=OP．∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD＝PE．

如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了角的平分线的性质及其作用，并通过讲解实例巩固知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】角的平分线的性质.探究新知角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等几何语言：∵∠AOC＝∠BOC，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．探究新知想一想你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD＝PE．求证：OP平分∠AOB．探究新知证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．在Rt△PDO和Rt△PEO中，PO=PO,PD=PE．∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠POD＝∠POE．∴点P在∠AOB的平分线上．探究新知定理在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线上．典例精析解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC．又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，∴DE=

AD=

×10=5．例如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.典例精析解导入问题：如图，OA表示公路，OB表示铁路．（1）作∠AOB的平分线OP；（2）在射线OP上截取OC＝2.5cm，即集贸市场应建于点C处．1．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（

）．

A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确课堂练习D课堂练习2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为________．4课堂练习3．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（

）．

A．P为∠A，∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC，AB两边上的高的交点D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点B课堂练习4．如图，填空．（1）∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，∴___________（_____________________________________）．（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，∴__________（_________________________________________________）．DC＝DE角的平分线上的点到角的两边的距离相等．∠1＝∠2角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上ACDEB12课堂练习5．如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于_______度．

30课堂练习6．已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:EB=FC．

证明:∵AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB=FC．课堂练习证明：∵EC为∠ACB的平分线，∴∠BCE=∠ACE．∵CG为∠ACD的平分线，∴∠DCG=∠FCG．∵EG∥BC，∴∠FEC=∠BCE，

∠FGC=∠GCD，从而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG，∴EF=FC，FC=FG，从而EF=FG