2021届河北省某中学高三数学第一次联合考试试题解析

绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合，，则（）A． B． C． D．答案C先求出和，再求即可解题.解：解：因为，所以，因为，所以，所以．故选：C.点评：本题考查求解一元二次不等式，集合的交集运算，是基础题.2．若复数，则（）A．1 B． C． D．4答案B先根据复数的运算法则得出，再根据复数模的计算公式计算即可得解.解：由，得，则．故选：B.点评：本题考查复数的概念和复数的运算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（）A．19 B．38 C．55 D．65答案D至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，列出两种情况的组合数，利用分类计数原理得到结果.解：至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同选派方案种数为．故选：D点评：本题考查组合的实际应用，考查分类计数原理的应用，属于基础题.4．数列、、、、、、、、、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中，偶数的个数为（）A． B． C． D．答案B由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第项为偶数，再由可求得结果.解：由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第项为偶数，由于，所以前项中偶数的个数为．故选：B.点评：本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．答案C对进行两边平方，整理可得，代入夹角公示即可得解.解：设与的夹角为，由得，所以，所以．故选：C.点评：本题考查了向量求夹角，在解题时如遇等式量边为模，可作两边平方计算，属于中档题.6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为20，则的值为（）A． B．C． D．答案A先确定次数取值和对应的概率，再求数学期望建立方程求的值.解：若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为，，数学期望为，由，解得．故选：A.点评：本题考查利用随机变量的数学期望求参数，是基础题.7．已知未成年男性的体重（单位：）与身高（单位：）的关系可用指数模型来描述，根据大数据统计计算得到，．现有一名未成年男性身高为，体重为，预测当他体重为时，身高约为（）A． B． C． D．答案C按照题中所给函数解析式代入数据计算即可.解：将，代入得，①将代入，得，②由②①得，即，解得．故选：C.点评：本题考查指数型函数模型的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若．则面积的最小值为（）A． B． C．1 D．5答案B取的中点为E，的中点，证明，即，得到点的轨迹为线段，且为直角三角形，当时，取最小值此时面积最小.解：如图，取的中点为E，易知．取的中点，则在正方形中，,则，则可得，即，所以点的轨迹为线段．因为平面，平面，则，所以为直角三角形，当时，取最小值为，此时面积最小，最小值为．故选：B点评：本题考查三角形面积的最小值，考查空间中线线，线面位置关系的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.二、多选题9．已知，则（）A． B． C． D．答案AD由同角三角函数关系求得,再根据正弦的二倍角公式求值.解：解:因为，所以，．所以．故选:AD点评：本题考查同角三角函数的基本关系,考查正弦的二倍角公式,属于基础题.10．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（）A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切C．为定值 D．若，则答案BCD根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解.解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故A不正确；如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线定义可知，，所以，所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；设所在直线的方程为，由，消去，得，所以，，故C正确；又，，故D正确．故选：BCD.点评：本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算量相对较大，属于难题.11．已知是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，则（）A． B．在区间上单调递增C．有最大值 D．是满足条件的一个函数答案AD双对称可得周期，故A正确，B、C是未知的，故错误，D代入判断即可得解.解：由是定义在上的奇函数得，图象关于直线对称可得，所以，，故A正确；无法判断单调性，故B，C错误；是奇函数，且，故选：AD．点评：本题考查了函数的对称性，以及对条件的化归转化，需要一定的思路，计算量不大，属于中档题.12．若存在实数，对任意的，不等式恒成立，则的值可以（）A． B． C． D．答案ABC根据题意将原不等式化为，则其转化为存在实数，使得在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，再根据数形结合，和二次函数的对称性，即可求出结果.解：不等式可化为，问题转化为：存在实数，使得在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，如图画出函数与函数的图象，由，得或（舍去），从而得，由二次函数的对称性知与图象的右边交点的横坐标为，故在区间上，函数与函数的图象恒在直线的两侧，所以实数的取值范围为．即选项ABC符合题意．故选:ABC.点评：本题主要考查了函数与方程、二次函数的性质以及数形结合能力，属于中档题.三、填空题13．已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的面积为______．答案4根据双曲线的定义及可求出，，，由勾股定理知，即可求出三角形面积.解：由题意得，又，所以，．又，所以，所以，所以．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题.14．已知实数，且满足，则，，的大小关系是______．答案将不等式化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得，进而得出答案.解：由，得．设，则，当时，，在区间上单调递增，故，即所以．故答案为：点评：本题考查了构造函数比较大小，考查了利用导数判断函数的单调性，属于中档题.15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为______．答案首先利用排列组合，求出随机地填涂了至少一个选项共有的涂法数，再求出得分的涂法数，相除即可得解.解：随机地填涂了至少一个选项共有种涂法，得分的涂法为3种，故他能得分的概率为．点评：本题考查了利用排列组合求概率，正确解读“至少”是本题解题关键，在解题时，注意不重不漏，属于中档题.16．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，在侧面内（含边界）有一动点，满足到的距离与到平面的距离相等，则的轨迹的长度为______．答案先证明，再求直线的方程和直线的方程，接着求直线与的交点坐标并判断的轨迹为线段，最后求线段长度.解：如图，过作于，平面于，过作于，连接，则为二面角的平面角，由得．又，所以，在中，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则直线的方程为，直线的方程为，所以直线与的交点坐标为，所以的轨迹为线段，长度为．故答案为：.点评：本题考查空间中点的轨迹的长度、二面角的定义，是中档题.四、解答题17．在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．答案选择条件①，数列不一定是等差数列，理由见解析；选择条件②，数列的通项公式为；选择条件③，．若选择条件①，可得，即，由于无法确定的值，即可判断；若选择条件②：可得，，再根据等差数列的通项公式计算得解；若选择条件③：利用，可得，，再根据等差数列的通项公式计算得解；解：解：选择条件①：因为对任意，，满足，所以，所以．因为无法确定的值，所以不一定等于2．所以数列不一定是等差数列．选择条件②：由，得，即，．又因为，所以．所以数列是等差数列，其公差为2．因此，数列的通项公式为．选择条件③：因为，所以，两式相减得，即．又，即，所以，，又，，所以，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以．点评：本题考查等差数列的通项公式的计算，根据求通项公式，属于基础题.18．振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：制造电子产品的件数工人数131141（1）若去掉内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在的人数的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若，则，．答案（1），；（2）30．（1）先设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为，再设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为，由题可得，进而列出满足题意的不等式求解即可；（2）根据正态分布的概率计算公式计算即可得解.解：（1）设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为，则，设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为，则，依题可得，即，解得，，所以件数在的人数的取值范围为，；（2）因为，所以，，所以，，因为，所以所以，所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为．点评：本题考查平均数的应用，考查正态分布概率的计算问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.19．如图，在四边形中，与相交于点，，，．（1）求；（2）若，求四边形的面积．答案（1）；（2）．（1）在中，根据，，，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得，然后分别在，中结合，得到求解．（2）在中，由正弦定理求得，再由余弦定理得然后由S四边形ABCD求解.解：（1）在中，，，，由余弦定理得，所以．由正弦定理得，．在中，由正弦定理得，即，同理，在中，．又因为，所以．所以．（2）在中，由正弦定理得，即，所以．又由余弦定理得，即，解得．S四边形ABCD．点评：本题主要考查正弦定理，余弦定理的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面底面，.（1）证明：；（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.答案（1）证明见解析；（2）.（1）要求证；只需根据线面垂直判断定理求证平面，即可求得答案.（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，根据，即可求得答案.解：（1）连接交于，底面为菱形，.，为的中点，.又，平面，平面，平面.又平面，.（2）因为，为的中点，.又平面底面，平面底面，平面，底面，，，两两垂直.以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，与底面所成的角即为，.设，则，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，得，又平面的一个法向量为，.又二面角为锐角，二面角的余弦值为.点评：本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．答案（1）；（2）的面积最大值为，此时点的坐标为或或或．（1）先设椭圆的标准方程，再根据题意建立方程，．，最后求椭圆的标准方程即可；（2）先得到方程和，再用表示出、、，最后求最大时点的坐标即可.解：解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，，．因为，所以，，所以椭圆的标准方程为．（2）设动直线的方程为．由直线与圆相切得，即．由，得，其中．设，，，则，从而，．所以．因为，所以．当时，上式等号成立，此时．故的面积最大值为，此时点的坐标为或或或．点评：本题考查求椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系、椭圆内三角形的面积问题，是偏难题.22．已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ），．答案（1）；（2）（ⅰ