第一节平面向量及其线性运算(要点归纳夯实基础练)

第一节平面向量及其线性运算【要点归纳】一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb三、两个向量共线定理1．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．3．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．4．五个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).四、常用结论1．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心．2．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3．三角形外心的向量性质：|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(OB,\s\up6(→))|=|eq\o(OC,\s\up6(→))|。4．三角形垂心的向量性质：eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))。5．三角形内心的向量性质：aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))+ceq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(0,\s\up6(→))。6．A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．【夯实基础练】1．(2022•高考全国乙卷数学(文))已知向量，则()A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因为，所以.故选：D【答案】D2．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)如图，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则()A． B．C． D．【解析】由题可得：．故选：B．【答案】B3．(2022•宁夏银川一中高三第六次月考)如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则()A． B．C． D．【解析】.故选：B【答案】B4．(2022•河南平顶山市第一高级中学模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则(

)A． B． C． D．【解析】因为，所以，所以.故选：C.【答案】C5．(2022•四川绵阳二模)已知平面向量，不共线，，，，则(

)A．，，三点共线 B．，，三点共线C．，，三点共线 D．，，三点共线【解析】平面向量，不共线，，，，对于A，，与不共线，A不正确；对于B，因，，则与不共线，B不正确；对于C，因，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.故选：D【答案】D6．(2022•山东泰安模拟)已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则(

)A． B． C． D．【解析】因为O，A，B三点共线，则所以，，即整理得：又∵向量，不共线，则，则。故选：A．【答案】A7．(2022•重庆市第十一中学校高三阶段)下面四个命题哪些是平面向量，共线的充要条件(

)A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量C．，方向相同或相反 D．存在不全为零的实数，，【解析】当为零向量，为非零向量时，，则AC选项错误.当为非零向量且同向时，，则B选项错误.根据共线向量基本定理的推论可知，D选项正确.故选：D【答案】D8．(2022•浙江省江山中学模拟)在中，E，F分别为的中点，点D是线段(不含端点)内的任意一点，，则(

)A． B． C． D．【解析】因为点D是线段(不含端点)内的任意一点，所以可设，因为E，F分别为的中点，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D错误，C正确，故选：C.【答案】C9．(2022•重庆市西南大学附属中学高三(上)月考)在中，，，若，则()A． B． C． D．【解析】由，