2.1.1 数轴上的基本公式

张喜林制

12.1.1

数轴上的基本公式教材知识检索考点知识清单1．数轴：一条给出了、和的直线叫做数轴，也称直线坐标系．2．轴上的向量：数轴上的任一点A沿着数轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次，称为向量；一个实数表示轴上的向量，实数的绝对值为线段AB的，果起点到终点的方向与轴同向，则此实数为．则为，么这个实数为向量AC3．设A、、是数轴上的三点则

AB

的4．数轴上两点间的距离公式：

(x)、Bx),

则

(A)要点核心解读．数一条给出了原点、度量单位和正方向的直线，叫做数轴或直线坐标系，当点与实x对时，称x为的坐标，记作Px图2-1-1所示，数轴x上的PQ、R的标依次是x、-1、，可分记为

(x)、Q(．向当数轴上的任意一点A移动到另点，就说点在轴上作了一次位移，当点不动时，就说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．今后，我们统一有向线段表示向量.起点为A终为B的量记AB,线AB的度叫做向量长度或模记为|,它现的是向量的大小；向量的方向由起点指向终点．同向且等长的向量叫做相等的向量；模为个单长度的向量叫做单位向量；向量的坐标(或称数量是个实数数绝值就是

B

当向量起点指向终点的方向与轴同向时实数就是；反之，就是BA.例如，如图2-1-1-2所，

AB,BA)起点和终点重合的向量是零向量，它没有确定的方向，它模坐标都是0．3．数轴上的基本公式1/8

2如图2-1-1-2所，不难看出，下面的公式成立：BC,ABxd()x|.其中，d(A，表A、两点的距离．．利数上点的离式决些对不式绝对值不等式，尤其是一元一次绝对值不等式，与两点间的距离公式之间存在一定的联系，因我们可以借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等式问题．符合条件

|

的点

(x)

位于x轴何处？可以用代数法即去掉绝对值符号解不等式，也可以运用距离公式的几何意义即“几何法”来求．[解析解一法解对值不等|得或P位x轴M(l)的侧或N(3)右侧，

即x>3或x<l，点解法二何）如图2-1-1-3所，设Q(2)，

(P,)|,

由题意可知，P、Q两间的距离大于1，结合数轴可以确定P位于M(l)的左侧或N(3)的右侧．典例分类剖析考1求轴上的标两间距命规2已坐标求距离或已知距离求标（或数量.[例1]已数轴上的三点

(、、().(1)当

AB|,C

时，求x；(2)当

AB

时，求x；(3)当

时，求x；(4)当AC，求证：

ABBC[解]

本例用到两个公式，即

MNd(,N)MNMN|x|.212

其中

与

分别是M、两的坐标．[答案](1)由

(、(),

可知2/8

3AB,C).解得

当

AB|(,C)时，有x或x7.(2)由

CB

可知解得

x(3)由可，

|,且AB|与|同，即

x所以解得(4)当AC，有

x6,x11.x解得所以

x0,BCAC母迁1若数轴上的顺次四点ABCD，且

(B(x),(0),(6),

满足

,

求实数x考2向的数与的标关命规把数轴上的向量转化为点的坐标进行运算，进而求值或证[例2]设A、、是数轴上不同于原点任意三点，且

0B112求证：0B0[解析把向的数量转化为点坐标．[答案设A、、在数轴上的标分别为

Aa)、B(b).C(),

则aOB,BAaOB0bc0,0,即abca又

1b21且,OB0bcbc0AaC0[点拨]证有关同一数轴上的若干点所成的向量的数量等式或条件等式时，关键要抓住“数量这3/8

4一本质，设数轴上点的坐标，把向量的数量转化为点的坐标，通过化简即可证明．母迁2已知数轴上点A、、P的标分别为

((3)((1)当与B的离P与A的离的3倍，求

(x(2)若P到A和B的离都是2时，求

(x

此时P与段AB有样的关系？(3)在线段上是否存在点P(x)，使得到和B的距离都是3?若存在，求出P(x)；不存在请说明理由.考3利数轴的本式决际题命规将实际问题转化为数轴上的基本公式这一数学问题，进而加以解决．[例一条路由西向东设有AB、、、五站点，相邻两个站点之间的距离依次为32千、48千40千36千，且在公路旁E站的中点处设有加油站．请你以加油站为原点，正东为正方向，

120

cm

为单位长度画数轴，并将五个站点在数轴上表示出来．[解析由例题中已规定了数轴的原点、正方向和单位长度，因此，解决问题的关键在于确定个站点分别在加油站的哪一侧，与加油站的距离是多少？[答案因

484036,

所以AB两站在加油站西侧（点左侧E三站加油站东侧（原点右侧为A站到E站距离为

32484036

（千米以AE两站加油站（原点的离为78千米而

46,7836)2,36

所以BCD三到油（原点）的距离依次为46千、千42千，即A、B、、、五站数轴上表示的数依次为

取

120

cm

为单位长度，画数轴如图2-1-1-4所．[点拨解实际问题的关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，而数学模型是近几年高考热点，同学们在日常生活中要注意观察、了解、总结数学与社会、生活之间的密切联系．母迁3．某海洋救护站接到一船只发出的求救信号，船只在救护站正东100km的A处，正以每小时20km的速度缓慢靠近救站，接到求救信号后，救护站立即派出救护艇以每小时180km速度驶向求救船只，问救护艇会在何位置遇到求救船只？考点∣a-b∣几何意义命题规律利用∣–∣几何意义解决不式或方程中的问题．[例4]对切

xR

证明

|x[解析讨

x或或x3三段可求得原不等式的解里给出数轴上两点间的距离公式解题的方法将

|

看成数轴上的坐标为x与-的点的距离

||

也看成两点的距离，结合数轴求解不等式．[答案设A在数轴上的标为24/8

|AB||,|BP.

5由平面几何知识知

|APBP|,

当且仅当P点在线段AB上时“=”，x5.上式当且仅当

时，“”立．母迁4．根据下列条件，在数轴上分别画出点

(x(1)|(2)(3)|2;(4)||2.5/8

6优化分层测讯1．不在数轴上画点，确定下列组点中，哪一组中的点C位于点D的侧)．A．C（）D(-4)．C(3)D(4)．（-4和D(3)D．（-4）和D(-3)2．下列说法中正确的个数(．①数轴上的向量的坐标一定是一个实数向量的坐标等于向量的长度向量AB与向量的度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．.1.2C.3D.43．A、、三都在数轴上，且A是段BC的中，则以下四个结论：

①ABBC;②AC③|ABCA

中，正确命题的序号是4．若点A（x）位于点B(2)和C(8)间，则取值范围是5．在数轴上画出以下各点．

(2);B(((

x||y|)(x

6/8

76．对点A(a)和B(在轴的位置，你认为有几种，依据是什么？高考能力测试（测试时间45分钟试满分100分）一、选择题5分x8分1．数轴上A、B、的坐标分别-7、、，则的值为().1BD.2．对于数轴上的任意三点A、、，在如下向量的坐标关系中，不成立的()．A.AB0.BC.DAO3．当数轴上的三点A、、不合时，它们的位置关系有六种情况，其中使||OB|OA|同时成立的情况有()．A.l种B.2种C.3种D.6

和4．数轴上的两点

(2x、(2x),

则A、B两的位置关系()．A.A在的侧在B的右与重D．由a的决定5.A、为数轴上的两点A点标为

2,

则B点标()．AB.7

.7或D或6．A、、是一直线上的三点，若等式

ABBCAC

成立，()．A.A在、之B.B在C、间．C、间．以上都有可能7．已知数轴上的点A、，中的坐为.0或A.4BC

2,||

则点A的坐标为)．8．数轴上点

(x)、A、

若

则

()．A.0

.

163

C.

163

D或

163二、填空题5分x4分9.A、、、是数轴上的任意点，则

ABCD10.已知数轴上三点

(、(0)、C

则

BA

的坐标为，

BC

的坐标为

,AC

的坐标为11．若不等式

|x

恒成立，则实数a的值范围12.已知数轴上的向量

的坐标分别为

AB、BCDC则|AD

AD三、解答题10分x4=40分）7/8

813.求满足下列各式的x的范．9(,9)