高考函数专题复习-教师版

函数与基本初等函数函数的概念（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，假如依据某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设是两个实数，且，满意的实数的集合叫做闭区间，记做；满意的实数的集合叫做开区间，记做；满意，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满意的实数的集合分别记做．留意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必需．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细状况需对字母参数进行分类探讨．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①视察法：对于比较简洁的函数，我们可以通过视察干脆得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必需有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设、是两个集合，假如依据某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．②给定一个集合到集合的映射，且．假如元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．函数的基本性质一、单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数假如对于属于定义域I内某个区间上的随意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．yxo（2）打“√”函数yxo分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．②一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1）对于随意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．二、奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先推断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）假如对于函数f(x)定义域内随意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利用定义（要先推断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则．③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充学问〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③探讨函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、改变趋势、对称性等方面探讨函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为探讨数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是（4）分别常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，，若，则若，则，从而得所求值域是（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为（7）图象法：假如函数的图象比较简洁作出，则可依据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。函数与映射的概念考点一：推断两函数是否为同一个函数[例1]试推断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），[解题思路]要推断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。[解析]（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点二：求函数的定义域、值域。题型2：求抽象函数的定义域[例3]设，则的定义域为（）A.；B.；C.；D.[解题思路]要求复合函数的定义域，应先求的定义域。[解析]由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满意不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。题型3；求函数的值域[例4]已知函数，若恒成立，求的值域[解题思路]应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的肯定值化去之后求值域[解析]依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，，所以的值域是考点三：映射的概念[例5]为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（）A．；B．；C．；D．[解题思路]密文与明文之间是有对应规则的，只要依据对应规则进行对应即可。[解析]当接收方收到密文14，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为C．【名师指引】理解映射的概念，应留意以下几点：（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；（3）集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区分于一般对应的本质特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.函数的表示方法考点1：用图像法表示函数[例1]一水池有个进水口,个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲乙所示.某天点到点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙（1）点到点只进水不出水；（2）点到点不进水只出水；（3）点到点不进水不出水．则肯定不正确的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上).[解题思路]依据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。[解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应当是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不肯定正确。从而肯定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获得信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟识基本的函数图象特征，擅长从图象中发觉其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。考点2：用列表法表示函数[例2]已知函数，分别由下表给出123131123321

则的值为 ；满意的的值是 [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。[解析]由表中对应值知=；当时，，不满意条件当时，，满意条件，当时，，不满意条件，∴满意的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发觉对应关系，用好对应关系即可。考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式[例3]已知=，则的解析式可取为[解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应当首选换元法[解析]令，则，∴.∴.故应填【名师指引】求函数解析式的常用方法有：①换元法（留意新元的取值范围）；②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。题型2：求二次函数的解析式[例4]次函数满意，且。⑴求的解析式；⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。[解题思路]（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过分别参数，求函数的最值即可。[解析]⑴设，则与已知条件比较得：解之得，又，⑵由题意得：即对恒成立，易得【名师指引】假如已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分别参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。考点4：分段函数题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6]设函数，在区间上画出函数的图像。[思路点拨]需将来肯定值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。[解析],如右上图.【名师指引】分段函数的解决方法是分段处理，要留意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。函数的单调性与最值考点1函数的单调性.题型2：探讨抽象函数的单调性[例2]定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对随意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对随意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。[解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名师指引】解本题的关键是敏捷应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.考点2函数的值域（最值）的求法题型1：求分式函数的最值[例3]已知函数当时，求函数的最小值；[解题思路]当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；[解析]当时，，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要留意等号是否成立，否则会得到而认为其最小值为，但事实上，要取得等号，必需使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必需留意：一正、二定、三相等，缺一不行。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围函数的奇偶性和周期性考点1推断函数的奇偶性及其应用题型1：推断有解析式的函数的奇偶性[例1]推断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[思路点拨]推断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。[解析]（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉肯定值符号，依据定义推断.由得=，∴f（－x）==－=－f（x）故f（x）为奇函数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】eq\o\ac(○,1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件eq\o\ac(○,2)分段函数的奇偶性一般要分段证明.③推断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。[思路点拨]欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从动身，所以应当利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。[解析]是定义在上奇函数对随意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是考点3函数奇偶性、周期性的综合应用[例5]已知定义在上的偶函数满意对于恒成立，且，则________[思路点拨]欲求，应当找寻的一个起点值，发觉的周期性[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发觉函数的周期性（奇偶性）。1.函数的反函数是()A．B．C．D．2.已知是上的减函数，那么的取值范围是(A) (B) (C) (D)3.在下列四个函数中，满意性质：“对于区间上的随意，恒成立”的只有(A) (B)(C) (D)4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则(A)(B)(C)(D)5.函数的定义域是A.B.C.D.6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.7、函数的反函数的图像与轴交于点(如右图所示)，则方程在上的根是A.4B.3C.2D.18、设是R上的随意函数，则下列叙述正确的是(A)是奇函数(B)是奇函数(C)是偶函数(D)是偶函数9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A．B．C．D．10、设(A)0(B)1(C)2(D)311、对a，bR，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是(A)0(B)(C)(D)312、关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2