平面力系的平衡方程及应用

机械设计基础之静力学模块V1平面力系的平衡目前一页\总数五十一页\编于二十点

引言力系—平面内作用在物体上力的总称（力的集合）根据力的作用线是否共面可分为：平面力系空间力系根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系平行力系任意力系平衡力系—作用在物体上使物体保持平衡的力系目前二页\总数五十一页\编于二十点平面力系的平衡平面力系的平衡平面汇交力系平面力偶系平面任意力系目前三页\总数五十一页\编于二十点平面汇交力系一级目录平面汇交力系平面力偶系平面任意力系平面力系的平衡目前四页\总数五十一页\编于二十点平面汇交力系平面汇交力系过渡页平面汇交力系1、力在直角坐标轴上的投影；2、合力投影定理；3、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系目前五页\总数五十一页\编于二十点平面汇交力系平面汇交力系过渡页平面汇交力系

平面汇交力系：研究方法：几何法，解析法。

各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。目前六页\总数五十一页\编于二十点正文LOGO力在直角坐标轴上的投影1平面汇交力系

Fx=F·cosa

;Fy=F·sina=F·cosb说明：（1）力在坐标轴上的投影为代数量；（2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。目前七页\总数五十一页\编于二十点正文合力投影定理2平面汇交力系由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。FRxF2xF1xF3xF4xxyo目前八页\总数五十一页\编于二十点正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。两个独立方程可求解两个未知量平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。只要不平行即可目前九页\总数五十一页\编于二十点正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系

（3）合理选取坐标系，列平衡方程求解；（4）对结果进行必要的分析和讨论。（1）选取研究对象；（2）画出研究对象的受力图；几点说明：（1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数；（2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。解析法解题步骤：目前十页\总数五十一页\编于二十点正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系例题1已知：P，a

，求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图解上述方程，得（3）建立坐标系，列方程求解

PABCD

FB

FA目前十一页\总数五十一页\编于二十点正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系解：①研究AB杆②画出受力图③列平衡方程例题2已知P=2kN求Scd,Ra目前十二页\总数五十一页\编于二十点正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系④解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；目前十三页\总数五十一页\编于二十点平面汇交力系平面任意力系过渡页平面力偶系平面力系的平衡目前十四页\总数五十一页\编于二十点平面力偶系平面力偶系过渡页平面力偶系1、力矩的概念；2、合力矩定理；3、力偶和力偶矩；4、平面力偶系的合成与平衡平面力偶系目前十五页\总数五十一页\编于二十点平面力偶系过渡页平面力偶系力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向

转动效应--取决于力矩的大小、方向力矩：是度量力对刚体转动效应的物理量。扭矩扳手目前十六页\总数五十一页\编于二十点正文LOGO力对点之矩1平面力偶系OFABh力臂矩心＋－①

平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。③当F=0或h=0时，=0。说明：②力对点之矩不因力的作用线移动而改变。④互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。目前十七页\总数五十一页\编于二十点正文合力矩定理2平面力偶系

定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。 即：目前十八页\总数五十一页\编于二十点正文合力矩定理2平面力偶系

解：①用力对点的矩法例题3已知：如图F、Q、l,求：和 ②应用合力矩定理目前十九页\总数五十一页\编于二十点正文合力矩定理2平面力偶系

解：例题4已知：如图F、R、r,

,求： 应用合力矩定理ARFrFxFy目前二十页\总数五十一页\编于二十点正文合力矩定理2平面力偶系

解：例题5已知：如图q、l,求：合力的大小和作用线位置。xClABqQ=qlCxdxqdx目前二十一页\总数五十一页\编于二十点正文合力矩定理2平面力偶系

解：例题6已知：如图q、l,求：合力的大小和作用线位置。xClABqQCxdxq'dx[注]：三角型分布载荷的合力大小等于该三角型的面积，合力的作用线通过该三角形的几何中心。目前二十二页\总数五十一页\编于二十点正文力偶与力偶矩3平面力偶系

力偶ABd力偶—两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶臂—力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面—力偶所在的平面。目前二十三页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系

力偶

矩力偶与力偶矩3力偶矩ABOdx—度量力偶对物体的转动效应力偶矩与力矩具有相同的性质。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。目前二十四页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系

平面力偶的性质力偶与力偶矩3性质1：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体不产生移动效应性质2：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来平衡，力偶只能与力偶来平衡。力和力偶是两个基本力素。目前二十五页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系

平面力偶的性质力偶与力偶矩3性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心

的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。由于O点是任取的— +FF'dOxAB目前二十六页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系

力偶的等效力偶与力偶矩3F0F0ABdFDCF1F2★

在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。MMM力偶表示方法目前二十七页\总数五十一页\编于二十点正文思考：平面力偶系力偶与力的异同共同点：单位统一，符号规定统一。差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。

2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。思考：1.如果某平面力系由多个力偶和一个力组成，该力系一定不平衡。2.如果某平面力系由多个力和一个力偶组成，该力系一定不平衡。目前二十八页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系

平面力偶系的合成平面力偶系的合成与平衡4ABdF4F3F1d1F2d2ABFd任意个力偶的情况结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。目前二十九页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4

平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。

目前三十页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4

梁上除作用有力偶M

外，还有反力FA，FB

。解：以梁为研究对象。

因为力偶只能与力偶平衡，所以

FA=FB。又∑M=0即M-FA×d=0所以FA

=FB=M/dBAdMFBFAdMBA例题7一简支梁作用一矩为M的力偶，不计梁重，求二支座约束力。（AB=d）目前三十一页\总数五十一页\编于二十点正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4

因为力偶只能与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力偶，故FA=FB。列写平衡方程：BlFAFBA∑M=0，解得例题11如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1=M2=10N.m，M3=20N.m；固定螺柱A和B的距离l=200mm

。求两个光滑螺柱所受的水平力。解：

选工件为研究对象，目前三十二页\总数五十一页\编于二十点平面汇交力系平面力偶系一级目录平面任意力系平面任意力系平面力系的平衡目前三十三页\总数五十一页\编于二十点平面任意力系平面任意力系过渡页平面任意力系1、力系的简化2、平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系目前三十四页\总数五十一页\编于二十点平面任意力系过渡页平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内,既不汇交为一点又不相互平行的力系。研究方法：未知力系已知力系力系向一点简化（平面任意力系）（平面汇交力系和平面力偶系）目前三十五页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系的简化平面任意力系1

力的平移定理AFBdF′F′′AF′BM=±F.d=MB(F)定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。MAFBd目前三十六页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系的简化平面任意力系1

力的平移讨论M′FF为什么钉子有时会折弯？F(a)F(b)两圆盘运动形式是否一样？′FM单手攻丝目前三十七页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系的简化平面任意力系1

平面一般力系向平面内一点简化F3F1F2OOOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F3′M3F2=F2′M2=MO(F2)F3=F3′M3=MO(F3)简化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′平面汇交力系平面力偶系目前三十八页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系的简化平面任意力系1

平面一般力系向平面内一点简化OxyMOFR′结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。原力系的主矢力系对于简化中心O的主矩目前三十九页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系的简化平面任意力系1平面任意力系F1F2F3F4Fn平面力偶系平面汇交力系合成合成FR=FiM=Mi力线平移定理[例]FAyFAxFFN目前四十页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系平衡的充要条件为：平面任意力系的平衡方程

=0为力平衡

MO=0为力偶也平衡 力系的主矢和主矩MO都等于零2目前四十一页\总数五十一页\编于二十点正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平面任意力系平衡方程的基本式目前四十二页\总数五十一页\编于二十点正文例题12已知：q，a,P=qa,M=Pa，求：A、B两点的支座反力？解：①选AB梁为研究对象。②画受力图

列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBAqMP平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2目前四十三页\总数五十一页\编于二十点正文例题13已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,

求：BC杆拉力和铰A处的支座反力？解：（1）选AB梁为研究对象。（2）画受力图FAxFAyFBCAQlBPal/2QlABPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2目前四十四页\总数五十一页\编于二十点正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2目前四十五页\总数五十一页\编于二十点正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2目前四十六页\总数五十一页\编于二十点正文

（3）列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2目前四十七页\总数五十一页\编于二十点正文②二矩式条件：x轴不垂直于AB连线③三矩式条件：A,B