2021届江西省上饶市高考二模数学(文)试题

2021年江西省上饶市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2（x﹣1）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．[1，2） C．（1，2） D．（2，3]2．已知复数z满足z（2+i）＝|3+4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．已知a，b都是正数，则“ab≥4”是“a+b＝ab”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为2π B．g（x）的图象关于直线x＝对称 C．g（x）的最大值为+1 D．g（x）在（）上为单调减函数5．已知sin（）＝，cosβ＝，则cos（﹣α）+cos2β＝（）A． B． C． D．6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体中曲面的面积为（）A．8π B．32﹣8π C．32 D．647．已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4＝a3+5，则S9＝（）A．35 B．40 C．45 D．508．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，则•＝（）A． B． C． D．9．已知奇函数f（x）满足f（5）＝1，且f（x﹣2）的图象关于x＝3对称，则f（2021）＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．310．函数y＝的图象大致为（）A． B． C． D．11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若Sn＝2n+1﹣a，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x12．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+1，若f（x）﹣kx＞0恰有3个正整数解，则k的取值范围为（）A．[﹣，﹣） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣] D．[﹣，﹣]二、填空题（共4小题）.13．已知x，y满足，则z＝的最小值为．14．已知直线3x+4y+2＝0与（x﹣1）2+y2＝r2圆相切，则该圆的半径大小为．15．在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c为三个连续偶数且C＝2A，则b＝．16．设F为抛物线y2＝x的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|AF|+3|BF|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，AC交BD于点F，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为△PAD的重心．（1）求证：GF∥平面PAB；（2）求三棱锥G﹣PAB的体积．19．近年来上饶市积极开展“创文创卫”活动，深入学习宣传贯彻党的十九届五中全会精神，坚持以人民为中心的发展思想，以深化全国文明城市建设为抓手，让文明的种子在上饶大地继续播撒，浸润于每一位市民的日常行为中，镌刻在上饶城市精神的最深处．广大学生也积极投身文明宣传活动，某班级在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了4天的参与活动的学生人数如下：第x天3456人数17201924（1）从以上4天中随机选取2天，求这2天参与活动均在20人以上（含20人）的概率；（2）根据表中4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+；并预测第10天的参与人数．参考公式：回归直线＝x+中＝＝，＝．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的一个交点为（1，），且抛物线向右平移个单位后的焦点与椭圆的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点，设点Q（3，t）（t＞0），且BP⊥BQ，求△APQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝lnx+a．（1）若a＝1，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点M的坐标为（1，2），直线l与曲线C交于A、B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）若f（x）＜7的解集为（m，n），求m+n；（2）若a、b∈R+且a，n，4b成等差数列，求a2+4b2的最小值．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2（x﹣1）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．[1，2） C．（1，2） D．（2，3]解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＞1}＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，3]．故选：D．2．已知复数z满足z（2+i）＝|3+4i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i解：∵z（2+i）＝|3+4i|，∴z＝＝＝＝＝2﹣i，∴＝2+i，故选：C．3．已知a，b都是正数，则“ab≥4”是“a+b＝ab”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解：由a+b＝ab得a+b＝ab≥2，平方得（ab）2≥4ab，∵a，b都是正数，∴ab≥4，即必要性成立，当a＝5，b＝1时，满足ab≥4，但a+b＝ab不成立，即充分性不成立，则“ab≥4”是“a+b＝ab”的必要不充分条件，故选：B．4．将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法中正确的是（）A．g（x）的最小正周期为2π B．g（x）的图象关于直线x＝对称 C．g（x）的最大值为+1 D．g（x）在（）上为单调减函数解：∵将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后，得到y＝g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x﹣）的图象，∴g（x）的最小正周期为＝π，故A错误；令x＝，求得g（x）＝0，不是最值，故B错误；g（x）的最大值为2，故C错误；当x（），2x﹣∈（，π），g（x）单调递减，故D正确，故选：D．5．已知sin（）＝，cosβ＝，则cos（﹣α）+cos2β＝（）A． B． C． D．解：∵cosβ＝，∴cos2β＝2cos2β﹣1＝2×﹣1＝﹣，∵sin（）＝，∴cos（﹣α）＝cos[﹣（）]＝sin（）＝，∴cos（﹣α）+cos2β＝﹣＝﹣．故选：B．6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体中曲面的面积为（）A．8π B．32﹣8π C．32 D．64解：由题意可知：几何体是棱长为4的正方体去掉一个半径为4的圆柱的几何体，如图：该几何体中曲面的面积：＝8π．故选：A．7．已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4＝a3+5，则S9＝（）A．35 B．40 C．45 D．50解：∵2a4＝a3+5，∴2（a5﹣d）＝a5﹣2d+5，∴a5＝5，∴S9＝＝9a5＝5×9＝45，故选：C．8．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，则•＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，如图：则＝，所以•＝（）＝＝.\故选：C．9．已知奇函数f（x）满足f（5）＝1，且f（x﹣2）的图象关于x＝3对称，则f（2021）＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3解：∵函数f（x﹣2）的图象关于x＝3对称，∴f（x）的图象关于x＝1对称，∴f（x）＝f（2﹣x），∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），∴f（x）是周期为4的函数，∴f（2021）＝f（1）＝f（5）＝1．故选：B．10．函数y＝的图象大致为（）A． B． C． D．解：y＝f（x）＝，则f（x+）＝＝＝，设g（x）＝f（x+）＝，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴g（﹣x）＝＝＝g（x），∴g（x）为偶函数，即将函数f（x）先左平移个单位后，图象关于y轴对称，故排除AC；令y＝f（x）＝＝0，解得x＝k，k∈Z，即函数有无数个零点，故排除B，故选：D．11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若Sn＝2n+1﹣a，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝2n+1﹣a，∴a1＝S1＝22﹣a，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，故22﹣a＝21＝2⇒a＝2，∴双曲线﹣＝1⇒﹣＝1，∴双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，故选：C．12．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+1，若f（x）﹣kx＞0恰有3个正整数解，则k的取值范围为（）A．[﹣，﹣） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣] D．[﹣，﹣]解：由题意，f（x）﹣kx＞0恰有3个正整数解，转换为y＝lnx的图象与y＝x2﹣1+kx的图象交点问题，作出y＝lnx和y＝x2﹣1+kx的图象，如图要使lnx＞x2﹣1+kx恰有3个正整数解，则需满足：解得：故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）．13．已知x，y满足，则z＝的最小值为．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），z＝的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，﹣1）连线的斜率，由图可知，其最小值为．故答案为：．14．已知直线3x+4y+2＝0与（x﹣1）2+y2＝r2圆相切，则该圆的半径大小为1．解：由（x﹣1）2+y2＝r2，可知圆心坐标为（1，0），半径为r，∵直线3x+4y+2＝0与（x﹣1）2+y2＝r2圆相切，由圆心到直线的距离d＝，可得圆的半径为1．故答案为：1．15．在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c为三个连续偶数且C＝2A，则b＝10．解：因为△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，设b＝x，则a＝x﹣2，c＝x+2，又C＝2A，则由正弦定理＝，可得＝＝＝，解得cosA＝，由余弦定理可得cosA＝＝＝，所以＝，解得x＝10，所以b＝10．故答案为：10．16．设F为抛物线y2＝x的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|AF|+3|BF|的最小值为+1．解：由抛物线的方程可得焦点F（，0），设直线AB的方程为：y＝k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：k2x2﹣（k2+1）x+＝0，x1x2＝，由抛物线的性质可得|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，所以|AF|+3|BF|＝x1+3x2+1≥2+1＝+1，故答案为：+1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知数列{an}对任意的n∈N*都满足+…+＝n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn．解：（1）由+…+＝n可得：+…+＝n﹣1(n≥2)，两式相减得：＝1，即an＝3n，n≥2，又当n＝1时，有＝1，解得a1＝3也适合，∴an＝3n；（2）由（1）可得：bn＝＝＝(﹣)，∴Tn＝(﹣+﹣+•••+﹣)＝(﹣)＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，AC交BD于点F，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为△PAD的重心．（1）求证：GF∥平面PAB；（2）求三棱锥G﹣PAB的体积．【解答】（1）证明：因为△PAD与△ACD均为正三角形，连接DG并延长交PA于点E，连接BE，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，所以△ABF∽△CDF，则，而G为△PAD的重心，所有，所以，则GF∥EB，而GF⊄平面PAB，EB⊂平面PAB，所以GF∥平面PAB；（2）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，在△PAD中，连接PG并延长交AD于点M，PM⊥AD，所以PM⊥面ABCD，则VG﹣PAB＝VP﹣ABM﹣VG﹣ABM，因为CD＝，AB＝，△ACD为正三角形，则AD＝，所以PM＝3，PG＝2，GM＝1，而∠DAC＝∠ACD＝60°＝∠CAB，则∠EAB＝120°，所以S△MAB＝AM•AB•sin120°＝，所以VG﹣PAB＝＝．19．近年来上饶市积极开展“创文创卫”活动，深入学习宣传贯彻党的十九届五中全会精神，坚持以人民为中心的发展思想，以深化全国文明城市建设为抓手，让文明的种子在上饶大地继续播撒，浸润于每一位市民的日常行为中，镌刻在上饶城市精神的最深处．广大学生也积极投身文明宣传活动，某班级在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了4天的参与活动的学生人数如下：第x天3456人数17201924（1）从以上4天中随机选取2天，求这2天参与活动均在20人以上（含20人）的概率；（2）根据表中4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+；并预测第10天的参与人数．参考公式：回归直线＝x+中＝＝，＝．解：（1）由表格可以得到，从4天中随机取2天，共有种选法，而第4天和第6天参与活动的人数均在20人以上（含20人），参与活动均在20人以上（含20人）的共有2天，只有1种选法，故这2天参与活动均在20人以上（含20人）的概率为；（2）根据表中的数据可得，，所以＝，故＝＝20﹣2×4.5＝11，所以回归直线为＝2x+11，当x＝10时，参与人数＝2×10+11＝31人，即预测第10天的参与人数为31人．20．已知椭圆＝1（a＞b＞0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的一个交点为（1，），且抛物线向右平移个单位后的焦点与椭圆的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上一点，设点Q（3，t）（t＞0），且BP⊥BQ，求△APQ面积的最大值．解：（1）因为抛物线过点（1，），所以（）2＝2p，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x，焦点坐标为（，0），因为抛物线向右平移个单位后的焦点与椭圆的焦点重合，所以椭圆的焦点坐标为（，0），所以，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），因为BP⊥BQ，所以kBP•kBQ＝﹣1，则kBQ＝t，则kBP＝﹣，所以直线BP的方程为y＝﹣（x﹣2），联立，得（t2+4）x2﹣16x+16﹣4t2＝0，所以xBxP＝，所以xP＝，所以yP＝﹣（x﹣2）＝﹣（﹣2）＝，直线AQ的方程为y＝（x+2），所以点P到直线AQ的距离d＝，所以|AQ|＝＝，所以S△ABP＝•|AQ|•d＝×|×t﹣+2t|＝×||＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝2时，取等号，所以S△ABP的最大值为．21．已知函数f（x）＝lnx+a．（1）若a＝1，求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，求a的取值范围．解：（1）a＝1时，f（x）＝lnx+1，f′（x）＝，则k＝f′（1）＝1，f（1）＝1，故切线方程是：y﹣1＝x﹣1，即y＝x；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，则a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2，则g′（x）＝（x+1）（ex﹣），x+1＞0，令h（x）＝ex﹣，h′（x）＝ex+，故h（x）在（0，+∞）递增，而x→0时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→+∞，故存在x0∈（0，+∞），使得h（x0）＝0，从而x0＝1，x0＝﹣lnx0，故h（x）在（0，x0）递增，在（x0，+∞）递减，故