二次根式的概念和性质

二次根式的概念和性质第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是它0；

负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。Think思考第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五试一试：说出下列各式的意义；观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数

2、表示什么？表示非负数a的算术平方根第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1.二次根式的概念第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如

是不是二次根式?思考：不是,它是二次根式的代数式.定义：像,,

这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0

5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五试一试（1）例1:判断，下列各式中那些是二次根式？定义：式子叫做二次根式.

不要忽略其中a叫做被开方式。第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五练习求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五练习：x取何值时,下列二次根式有意义?求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五正数0没有x≥2

第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.当

_____时，

有意义。3.求下列二次根式中字母的取值范围解得-5≤x＜3解：①②说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）≤3有意义的条件是

.2.+第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五练习：求下列二次根式中字母的取值范围：（8）第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ的取值范围（１）（２）（３）练习与反馈第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五2．（１）

（２）当时，

（３），

则Ｘ的取值范围是＿＿＿

（４）若，

则Ｘ的取值范围是＿＿＿第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下

?第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五比一比第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二次根式的性质（１）第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求x＋y的值解：∵≥０，≥０，＝０，＝０∴∴x＝１，y＝－３∴x＋y＝－２第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例求下列二次根式的值解：(1)∵∴(2)当x＝时，x－１<０∴∴当x＝时，第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五初中阶段的三个非负数：≥０(a≥０)归纳：第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五题型:二次根式的非负性的应用.1.已知：+=0,求x-y的值.2.已知x,y为实数,且

+3(y-2)2=0,则x-y的值为(

)A.3B.-3C.1D.-1解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五练习１.已知，求x、y的值.x=2，y=3a≥4２.已知，求a的值.a-4=9，则a=13第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五试试你的反应n≤12n=3，8，11，12第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二次根式的性质（２）试一试（3）计算:

想一想等于什么?请举例验证.===3520.04性质２：第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。

根据等式的定义，可得。我们已经得到:第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五面积性质一:5第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五a-a|a|02233二次根式的性质（３）第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五由,可以得。

利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：

a0-a(a>0)(a=0)(a<0)归纳知识迁移第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五试一试1.计算下列各题:(1)(2)2.若,则x的取值范围为()A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数

与是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。√a（）2第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五1、什么叫做二次根式？

2、二次根式有哪两个形式上的特点？

课堂小结第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五性质二:例2计算：第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五例3计算：第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期五性质一:性质二:书P7的课内练习第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期五补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期五∵x<0,∴4x＜0,例5:已知:x<0,化简:∴原式=-4x第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期五练一练:第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期五化简：（2）(3)(a＜0,b＞0)(4)(a＞1)(5)(1＜x＜3)第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期五性质一:性质二:归纳小结：第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期五因为难,所以我挑战!1.求式子有意义时X的取值范围。解:由题意得,第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期五二次根式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式1、2、加、减、乘、除知识结构--不要求，只需了解1、

3、=a22、第四十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期五题型：最简二次根式：１、被开方数不含分数；２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式。练习1：把下列各式化为最简二次根式第四十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期五化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后