初中数学专题复习全等三角形

初中数学专题习——等三角形一知点构理解1.全等形：能够完全重合的两个形叫做全等形。2.全等三角形性质：全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等3.三角形全等的判定：（1）边边边(SAS):三边对应相等的两个三角形全等。（2）角边角（SAS边它的夹角对应相等的两个三角形全等。（3）角边角（ASA边他的夹角应相等的两个三角形全等。角角边（个和其中的一个角对边应相等的两个三角形全等。（4）斜边，直角边(HL)：边直角边对应相等的两个三角形全等。4.角平分线的性质：角的平分线的点到角的两边的距离相等。2.角平分线的判定：角的内部到的两边的距离相等的点在角的平分线上。三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。二找等角的法（1从结论出发，看要证明相的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2从知出发，看可以确定两个三角形全等；（3从条件和结论综合考虑，能一同确定哪两个三角形全等；（4考虑辅助线，构造全等三形。三全三形几重结（1）全等三角对应角的平分线、中线、高分别相(对应元素都分别相等)（2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°⊿30°角的对等于斜边的一半，反之Rt中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。（4三角形内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边距离相等形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距相等到三角形三边所在直线等距离的点有四个1

经典例题例．图：、CF相于点D，DE⊥AC⊥AB，垂足分别为、F且DE=DF。求证：AB=AC。AF

EDB举反：例．变式1】如图：⊥AC，CF⊥AB，BM=AC。求证⊥AN。

C

A

A

EE

D

2

B

CB

例．变式2】如图：∠BAC=90°⊥BE，AB=AC∠ABE=∠CBE，求证BD=2EC。例启）已知如图△ABC中⊥AC，AD⊥BC平分∠ABC交AD于E求证AB=BF2

例．知：如图AD，AE平分∠，AE；说明：AD+BC=AB．例6题在ABC中∠ACB，AC＝BC过C作∥AB交∠ABC的分线于D∠ACB的分线交BD于E。

（1求证：＝CD；（2求证：＋CE

DEB例7（24题．.如图，在腰三角形ABC中CACB∠ACB=90°，点D是直线BC上两且CD=，过点C作⊥AE交AE于M，AB于点，连接DF延长交AE于．(1).若AC=2，CD=1，求CM的；(2).求证：∠E．

D

F

M

N3

o例8（2015级中下.已知个全等的等腰直角、DEF其中∠ACB=∠DFE=90°为AB中点，线段DE，EF分别交线段CA，CB或它们所在直线）于M、No（1如图l所放置，当线段EF经过△ABC的顶点，点与点C重合，线段交AC于M求证：AM=MC；（2如图2所放置，当线段EF与线段BC边于，线段DE与线AC交于M点，连MN，EC请探究AM，MN，CN之间等量关系，并说明理由；（3如图3所放置，当线段EF与BC延长线交于，线段DE与线AC交于M点，连MN，EC请猜想AM，MN，CN之间等量关系，不必说明理由．例9（2016级南七。知，在等腰

Rt中ABC90,ABCB

为直线AB上点，连接CD，过C作

，且

CD

，连接DE，交AC于F。（1如图1，当D重时，求证：

EF

。（2如图2，当D在线AB上且

DCB

o

时，请探究、EF、CF之间数量关系，并说明理由。（3如图3，在2）的条件下，在FC上取一点，连接DG作射线GP使FDFGFQ角平分线于点，求证：。

DGP60

o

，交

DFG

的4

例（2014级一七。Rt△ABC中AC＝BC，∠ACB是的中，DG⊥AC交AB于点G.（1）如图1为段DC上任意点，点线段DG上且DE=DF，结EF与，点F作FH⊥FC交直线AB于H．①求证：DG=DC②断与FC的量关系并加以证明．（2）若E为段DC的延长线上意一点，点F在射DG(1)中的其他条件不变，借助图2画图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你(1)得出的结论是否发生改变小题接写出结论，不必证明

B

BHGF

GAD

EC

A

D

C

E图1

图5

三形常辅线作、延中构全三形例1：如图1，已知△ABC中，是△的中线AB=8，AC=6，求AD的值范围．第1题

第2题

第3题、引行构全三形例2：如图2，已知△中AB在AB上，是AC延线上一点，且BD与BC交点F．求证：DF=EF示此题辅助线作法较多，如：①作∥AE交BC于G；②EH交BC的延线于H；再通过证三角形全等得DF＝EF、作线造腰角例3如图3已知eq\o\ac(△,RT)中∠C=90°AC=BCAD=ACDE垂为D交BC于E求证BD=DE=CE（提示：连结，△是等腰三角形、利翻，造等角．例4：如图4，已知△中∠B∠C，AD平分BACBC于D．求证AC＝AB．提示：将ADB沿AD翻折，使B点在AC上＇处，再证BD=B＇D＝B＇C易得△ADB≌ADB，△B＇DC是腰三角形，于是结论可证．第题

第5题、作角的位例：如图5，已知四边形ABCD，AB＝CD，E、F别是、AD的点BA、CD的长线交EF的延线于点M．证：∠BME＝∠CNE提示：连结AC并中点，再连结OE、OF．故∠1＝，＝∠CNE且，故∠＝∠2，可得证．

则OE∥AB∥CD，6

综练题1（2014中考如图，和△均为等腰直角三角形，∠BAD=90°，点P为边AC上任一点（点P不与、C点重合⊥PBAD于点E，AB于点F．（1求证：∠ABP．（2猜想线段PB、PE的量关系，并证明你的猜想．（3若P为AC延线上任意一（如图②交DA的延线于点E，其他条件不变）中结论是否成立？请证明你的结论．综练题2（2014中考如图，点EAD，△ABC和都是等边三角形．猜想BD、AD三条线段之间的关系，并说明理由．综练题3（2014中考点P为段AB中点，分别过线段AB的点、B作直线l的垂，垂足分别为点C、D，连接、PD．（1当直线l过段AB的中点，如图1，猜想PC、PD数量关系（直接写出你的猜想（2当直线l过段AB上的任点，如图，猜想PC的数量关系并加以证明；（3当直线l过段AB的延长上的任一点，按照题意画出图形，并判PCD的形（不必明7

综练题4（2014中考如图，在△中，D是的中点，过D点的线GF交AC于F，交AC的行线BG于点DE⊥GF，交AB于，连接EG（1求证：BG=CF；（2请你判断BE+CF与EF的小关系，并证明你的结论．综练题5•迁如，已BAD和BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，