2021届河南省湘豫名校高三上学期1月月考数学理科试题(解析版)

湘豫名校联考（2021年1月）数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题1．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（）A． B． C． D．2．设全集，集合，，则（）A． B．C． D．3．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的、两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如右的茎叶图．记、两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（）A．因为，，应选择酒店B．因为，，应选择酒店C．因为，，应选择酒店D．因为，，应选择酒店4．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，，弦中点的横坐标，则该抛物线的方程为（）A． B． C． D．6．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系式为（，均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（）A．小时 B．小时 C．5小时 D．10小时7．函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到的，则下列关于函数的说法正确的是（）A．为奇函数 B．为偶函数C．的图象的一条对称轴为 D．的图象的一个对称中心为8．的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则它的展开式中的常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．159．若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为（）A． B． C．2 D．10．在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（）A． B． C．1 D．11．已知矩形中，，，，分别为边和上的动点（不与端点重合），且，将四边形沿折起，使平面平面，连接，，当三棱柱的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（）A． B． C． D．12．函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．由此结论可求的对称中心为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题13．若单位向量，的夹角为120°，则______．14．若，则______．15．如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到平面的距离等于______．16．在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，，分别为，上的动点，且，则的最小值为______．三、解答题（一）必考题：17．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和．（1）求和的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，记点，，…，，设所在的直线与x轴交于点，，求．18．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图，如图．（1）求出频率分布直方图中的值和这200人的平均年龄；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关?附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点，分别为其左、右顶点，点为椭圆上不与，重合的动点，且面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）分别过点，作直线于点，于点，设与相交于点，求点的轨迹方程．21．已知函数，．（1）若，求的单调区间；（2）若，有恒成立，求实数的取值范围．（二）选考题．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，交极轴于点，交直线于点．（1）求，点的极坐标方程；（2）若点为椭圆上的一个动点，求面积的最大值及取最大值时点的直角坐标．23．已知函数．（1）若，解不等式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．湘豫名校联考（2021年1月）数学（理科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案ABBCBCCDADCB1．A【解析】由在第四象限，故选A．2．B【解析】由得，所以，所以．3．B【解析】由，，，，故选B．4．C【解析】易知，，又，，而，有，则．故选C．5．B【解析】设，，由抛物线定义知：，又，即，故抛物线方程为．6．C【解析】由题知：当时，，所以，即，由，即，解得，即还需5小时，故选C．7．C【解析】由题知：．当时，，易知C正确．8．D【解析】的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，即最大，所以，所以展开式的通项公式为，令，得，故展开式中的常数项为．9．A【解析】易知切点为原点，又的导函数，故，，，又，则．故选A10．D【解析】由正弦定理：．化简得，故．当且仅当，即，，时取“=”故选D．11．C【解析】设，则，折得的几何体为三棱柱，故．当且仅当时，的体积最大．此时外接球直径为，故外接球体积．12．B【解析】由题知，设的对称中心为，则为奇函数．即，即．又，，，则恒成立，则故选B．二、填空题13．【解析】，故．14．【解析】．15．【解析】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，，，设点到平面的距离为，则由得，所以．16．【解析】①当直线与轴重合时，，，此时；②当直线不与轴重合时，设为，则直线的方程为，，．则，所以，当时等号成立，又，所以最小值为．三、解答题17．【解析】（1）由题知，为等差数列，设其公差为．由，得，解得．故．又的前项和．时，，时，．也符合上式，故．即：，．（2）由题知，直线过点和，故其方程为，即，令，即有，即．，故．）+…+（n十318．【解析】（1）由题意得：，所以，200人的平均年龄为：．（2）由题意得：利用分层抽样的方法从第一组抽取2人，从第二组抽取3人，记从第一组抽取的2人为，，从第二组抽取的3人为，，则从这5人中随机抽取2人的基本事件有，即10种，其中两人恰好属于不同组别的基本事件有种，即6种，故所求的概率．（3）由题意可得列联表为：购买力强人群购买力弱人群合计青少年组10020120中老年组602080合计16040200故的观测值，故没有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关．19．【解析】（1）连接交于，连接，则为中点，所以为的中位线，，又平面，平面，平面．（2），所以，取中点，中点，连接，，则，，，，、平面，，平面，又平面，，，，、平面，平面，又因为平面，所以，所以，，两两垂直；如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则即取；设平面的法向量为，则即取，所以，所以二面角的余弦值为．20．【解析】（1）由题意得，即．又，点为椭圆上的动点．故，则的最大值为即，代入得，故，，即椭圆方程为．（2）设，，则．①由题意得：，，，，则，．且，代入①得，又，所以，即，整理得．故为所求轨迹方程．21．【解析】（1），．，令，解得（负值舍去）．所以当，；当，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由已知，，由于恒成立，即恒成立，等价于恒成立，令，，，令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，，，函数在上单调递增，，，即恒成立，令，，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时