同济第六版《高等数学》教案WORD版第03章中值定理与导数的应用分析

有定000000有定000000高等数学教案

中值定理导数的应用三章导数的应用目：1、理并用尔理拉日值理了柯中定和勒定。2、理函的值概念掌握用数断函数的调性求数极的法掌函数最大值和最小值的求法及其简单应用会用二导数判断数图形的凹凸性，求数图形拐点及平铅直斜近线，会描绘函数。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法知道率曲半径概，计算率曲半径。知道方程近似解的分法及切线。教重：罗定理拉日值定；函数的极值断函数的单调性求数极值的；函图形的凹；洛达法。难：罗定、格日值理应；极值的判断方法；洛必达法则的灵活。中值理、罗定理费引理设函数)点的某邻U(内导果任意()f()(或()))那f)罗定理数在闭区[]上连续开区间(a,)内导有()b)么a,b内至少在一点f

(简证如果()是函数f结显然(2)如()是常函()在a至少一大点或小点妨设一大值点f

(lim

f(

f

f(

内蒙古财大学统计与学教室12122121212122121221高等数学教案所以罗定理几义二拉格朗日定理

3

中值定理导数的应用拉格日值定理f()在区[a上连续开区间a内导么(a内至少有一得等式f(b))成拉朗日值的何意义f

f))

定的证进辅数令)

f)()

(

容易验证函数()适罗尔理件可

)在区间[]连在开间(a内

f)()

根据罗尔定理知在开间(a内至少有一点f

(

f(b)f

由此得

f)()

(即

f()a)

(b定证f(b))做格中公公对于<a也立拉朗日值的它形式[

设间[a内点为区的一点>0或<0)在(应拉日

(>0)f(

)

(

如果记()为上式又可写

(

试微比是函增量的近似表达f

(

是数增量的精确表达式作拉格日定的应用证如下理定理f)在间I上的导恒零么()在间I上一个数证在区间I任两点(<)用拉格朗日中值理f())

(

)(<)由定))内蒙古财大学统计与学教室211211高等数学教案

3

中值定理导数的应用f())因为是上任意两点以上的等表)在上函值是相的就是说)在间上一常数例明当()1证)然)在间朗日中值定理的条件据有f()

(

。由于(0)f

此式即为)

1

又由有1

()三、西值定理设线C数方程()(

(

b)表中为数曲上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线么在曲线上有一点平行于端点的弦AB线C上点率为dYfdX弦AB的斜率为f(b()(b()于是f()a)b()

fF西中定理f)及F()在区间[]上连开区间(内可导在内的一处不为么在(a内至少一点式f()a)b()

fF成立显然果F()F)a)

()西公就可写成f()a这样就变成了拉格朗日中值公式了

(ba)内蒙古财大学统计与学教室00n01020n0似0n望nn01020n0n120n0n230n0n340n0nnn00n01n02n3nn0n00n010n02000n01020n0似0n望nn01020n0n120n0n230n0n340n0nnn00n01n02n3nn0n00n010n020n030n0n00101高等数学教案泰公式.

3

中值定理导数的应用对于一些复的函数了便于研究往些单的函数来近似表达于用多项式表示的函数要对变量行限加减乘种算能出的数此我们常用多项来近表达函在分的用经道x很时如下近似等ex这些都是用一次多项式来近似表达函数的例是这种近似表式存着不之先度高所生的差关于的阶无穷小次是用它来作近时能体估出差大小此于确度求较高且需要计误差时候必用高次多项来近似表函给误差式设数(x)在有的开间内有到n阶导数在我希的出一个关于(x的次多项式p(x(x)(x)

2

)

n近)求p(x与)之是比()高的无穷给差|f()(x的具体表达我们然希与()在x的导数(直到n阶数相等样就有p(x(x)(x)

2

)

n

pa()

n

np()(x)p)(x)

n

p(n)x)于px))按求有f(x)(x)))af

(n(x)()xa从而有ax))

af!

a

1!

f

a

1n!

f

(n)

()a

1!

f(0

(内蒙古财大学统计与学教室1n0000100(a内可为个个x表0函公0于1n0000100(a内可为个个x表0函公0于0000n0n00高等数学教案于就有

3

中值定理导数的应用px)()()f!

x)

2

f!

(n

(x)()

n

勒中定理fx)在有的个开区(内有到的导数当在时以示)的与(x)之和f(x))f)(x00

!

f

)200

!

f(n)(x)()n()0其中()n

f

(n((n

(x)0

n

(与)这里多式()f(xfn

)(x)00

!

f

)200

n!

f(n)(x)(x)n0

称为按(x的开的次近似项式式f)fx)f

x)

!

f

)0

1!

f

()

(x)

(x)称为()按()的展的阶勒()的表达式其中R()

f

((

(

(x与间称为格日余项当时勒公式变成拉格值公f(xx)(与间)因勒广如对于某个定的当在区间(内变时(()|总不超过一个常数M有估计式R()|n

f

(n((

(x)0

n

Mn

x0

及

limxx

R()(x)

可见xx时R()|是比()

高阶无穷R(x))

n

]在不需要余项的精确表达式泰勒公式也可成f)fx)f

x)

!

f

)0

1!

f

(n)

(xx)0

[(x)

]当时的泰克劳林公式是内蒙古财大学统计与学教室xn1误111xn1误111高等数学教案

3

中值定理导数的应用f(xf0

f

!

x2

f

())!

xn

(x)n或

f

!

x2

f

(n0!

xn

(xn

)其中()

f((

x

由得近似公式f()f0f

x

f

!

x2

f

()(0)!

xn误估计式变为(

M(

x

例．函数()x的阶劳林公式解为x

(n()x所以(0)

(n(0)于是并有

!!

xx

1!xn!

xn

(0<这时产的差为R()|

x

|<

|

x

n

当得的近似x!

1!

其|<

3(

例求()x的阶克公式解为fxf(4)(x

(n

()x

)f(0)

(4)(0)于是!!

x

m(

x

()当、近似式sin

xx!

x3x5!!内蒙古财大学统计与学教室121212112由在上中121212112由在上中22121123高等数学教案函数单性与曲的凹凸性

3

中值定理导数的应用一函数单调性的定如函数)在[上调单调少么图是一条轴上下的线时曲线的的切线非负的（是非正的此数的性导数符着切的系反来导的符号来函的单调性？定理函数调的定)设数)在[上(a可(1)在(内数)在[单加(2)在(内数)在[单少明只证([a上两点()用格日中值定理到f())

)(果(a)内数正号f有ff())

)即这数)在单加

f())注定法中的间换成他区间例1判定函数在[0单性解在(内所由判定法函数在[0调增加例2讨论函数调没明什么间办？)解函数定域为单调减少为0[加例论函数2的调解数的定义为当时的导数为

(数在处可导当时数的数不存在因上少因0,调增加如果函在定义间上连去有个数不存在的点外导数存在且续么要用方程f根及导不存的划函数()的义区间能证f各部区间保持固定的符号而数()在个部分区单例4函数()3

2

的单间内蒙古财大学统计与学教室数为为有零两数为22f1数为为有零两数为22f12高等数学教案解定域:(

3

中值定理导数的应用函数数点列分([2ff()

↗↘↗函数()在间区[上减少例5函数的单调解域为函数时均有数

3

在间0单调增加而在个义的在处有水平线一地果f某区内限点处零其各点为或负么f)在该区上仍旧单调增加（或单调减少）例明时

证f()f

22

(因为当时()在[1,()单调增加而时)由f(1)f()(1))也就是2(二线的与拐点凹凸的概f(f

)()2

f()()2f()

f()

f()

f()O

O

定义)在间I上续果I上两点有内蒙古财大学统计与学教室简证只(1)设1简证只(1)设1高等数学教案

3

中值定理导数的应用f(

f()f(1)2

)

那称)在上图是(向上)凹(或弧果恒有f(

f()(12)22

)

那称)在上图是(向上)凸(或弧定义设函数在间上果数曲位其上意点切的方则称曲线区间上凹如曲线位于一点的切则称线区间上是凸凸性判定理)[a上续(a内有阶二导么(1)若(内()在[上图形凹的(2)若(内()在[上的是凸a2

2

由格朗中式f()(1

0

)

1

1

0

)

1

1

2

f(

2

)f(

0

)f2

2

0

)f2

2

1

2

两式相加并应用拉朗日中值公得f()(1

2

)f(

0

)

2

1

2

1f

2

2

1

2即

f()(1

2

)

f(2)以()在[a的形是的拐点续线)上凹弧与凸弧分界点称为这曲线的拐点确曲线x的凹区间和点步确函数)的义域求在阶数求二导为的和二导不在的点判或列判定线凹凸拐注据具体情（）有时省略例1判曲线的凸性解

2因为在函数的义0是的内蒙古财大学统计与学教室11331133高等数学教案例判断线的凸性解由因为当时因为当时

3

中值定理导数的应用例求线3

2

的点解

()令因当的拐点2例求线4的点及、的间解函数

3

的定义域(

()(3)解方程1(4)表

((0f

0

0

f()

1

11/27

在间凹的区[0上曲线是凸的和(11/27)是曲线的拐点例问线是有拐点解

2

当时拐例曲线的点解的定义域((2)

2

2无阶导为点阶数存在的点为判当当拐内蒙古财大学统计与学教室000数值000数00000数一值0一一值个定理数0000数值000数00000数一值0一一值个定理数0000000000值值0000高等数学教案函数的值与最值最小值

中值定理导数的应用一函数的极值及求的义义数()在间(a,b)内有定a,)果在某去心域有f()则()是函的大的某一心邻内f()称f)是函数()的一个极小值设函的某邻()内定义果去域U)内f))(f))则f()是函数)的一个大值或极值值函数取得极值的点称为极值点函的极值小概念局的f)是函的大附近的来)是f)的大f()的最大于小值也类似极值与平线关系函取极值处线上的线是水曲线上水切的方数不取极定条)设函处导在处这函数在处导数零f)证为确定起见定)是大(极小值的形类似证明据极大值的定的个去邻域于任何点))均立是当时f()(

)

因

f)

f()(

)

当时f()(

)

此

f

)lim

f()(

)

从得

f)简证明假定()是极大大义某个去心邻内f)()是同时

ff

))

((

)lim)lim

f()f()

))

从得f)内蒙古财大学统计与学教室

f)f)f()f)

f()

(f))ff())ff()

)ff))f()(b(,()

(a,f,)ff()(a,f,)ff()(a,()ff()f)((f)(f)(ff)f()ff()ff)(f)断f每便该否还)例

f()

(

解)f()(f

)令())断(

ff()

↗

↘

↗理二条函点有数00数0数00函的号0而于邻来x符此知理二条函点有数00数0数00函的号0而于邻来x符此知这域说0理00要情于0函的号在内0理0导00以导来值值0驻点13高等数学教案

中值定理导数的应用(4)大为(为)定第分设)在具导)f么当函在x处得极大当函在x处得极小证明于有f

0xx

f)0x0

根据限保在的够去邻域f

)0x0

但)式即fx0

从对心的与因即x时当即时定x取得极大值类地可证形简在(1)由有f

0x

f)0x0

limxx

fx0

根据限保的去域有fx0

从而域时fx时f定x处取得大值定理表明果数()在点二点一定是值点且可阶f符x)是大小f就应用讨论数(x

在点是有值？提示3时以(0)为小值g2

g不极值．例2函数()

的极值解fx2

令f得(3)f

x2

内蒙古财大学统计与学教室驻是值n1n驻是值n1n高等数学教案

3

中值定理导数的应用因)在处得小值小值为因在的左右邻域内f(x)在处没极值理)在处没有极二最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中常样一类题一定条件下样使“产品最多低等问题类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最值或最小值问题极值最的关系设函数)在区间[]上数最大和最小值一定存在数的大值最小值有可能在区间的得果不在区间的端点必开区间(a)内得这种况大定是函大此数闭间[a的值定函的有极大值和函数在区间点函数值中最大理数在闭区间[a]最小一定函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最值和最小求设(x在(的点(们极为较f())的大小中最便函数)在[a上值的函数(x在[上小值例求函数)在[的大最值解)

x],])

f

x)4))在x)的驻点为可为和由于((1))可得()在得在[的最4值在x和取它在[的小值例工铁线的距为100km厂距为20km垂于运输要在线选定一点D向修筑一条路铁路公的与路公运运比:5了使应B运到工厂的最问D点选处A

B20km解内蒙古财大学统计与学教室由2中于中由2中于中00数值么值大000高等数学教案

3

中值定理导数的应用CD202

设从B到点的总运费为么(是某正数)即

(0现在就归结为在内取何值时目标函数值最小先求对的数

(

400

400

解程于

500

1

15

其为小此当AD时运费为最例工厂与路垂距离AC为20km,点站的离为100km.欲修条工厂到铁路的公路.已知路与路每里运之比为为了使火车站B与厂费省,问点应选在何处解与间的运为

400

100(0其中是某一数由

由

|

500

52

其为最小因此当AD时运费为最省注意()在个区间有无或闭内可导且只个点且这个驻点是函的f()是极大是)在区间的最)是值时就是()在间的最值y

y)

)f()f()O

0

bx

Oa

0

bx内蒙古财大学统计与学教室义区间部有0011111义区间部有0011111高等数学教案

§3

中值定理导数的应用应指际问题中往质可以断定函数)确有最大值或最小值而且一定在定义区间得如fx)定内一个驻点x么不必讨论f(x)是值可断定(x)是最大或小值例把根直径d的木锯截为形梁矩截的高和b应何选择能梁的抗弯模(Wbh)最?6解与下面的关h2

2

d

h因而6

)(0<bd)

b这就是自量b函的化范围(0现题化等少标数取最大值为对的导数

16

(d

2

)解程Wb

由梁的最大弯面量定存且()内部得在数W(d26(0内只一以当b时的最大

)在h2

133

d2

即

d:h:b:解示成的数Wbh6

b(d26

)(0<<d)由

16

d2

)3在且(0内取在函数在(0内一驻点3d所当3弯面模量最时

内蒙古财大学统计与学教室高等数学教案3数形的绘描绘函数图形的一步骤

中值定理导数的应用确定函数的定义域求数的一阶导数求出一阶、二阶导数为零的出一阶存在的列分析定曲线的单调性凸确定曲线的渐近性确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐它点)联结这些点画出函形例画函数形解)数的定义为()f

)列分(

()f

f

f()

极大

拐点

极当计特殊)))))描点联画出图形(,)27

(,)

(,)

O

例函数(e

的形解函数为函数义域(轴称内蒙古财大学统计与学教室11360001136000高等数学教案

§3

中值定理导数的应用f

x2

f

(x

2

令令(3)列表(

0(0,1)f

＋＋

－－f＋－－＋x)

↗

拐

↗

1↘极大值

↘曲线水平渐近线y先出区间(0,形后利用称性作出区内图例3函数的形(x2解函定域为f

36((x

f

72(x(x

令得f(3)表(3(36f

0

f

0

f()

↘

↗

4极大

11/3拐点↘曲的铅渐线的平近计特殊点的数(6)作

曲率一弧分设函数()区(a内具有续导数曲线y上取点M()作度量弧长的基规定依x增大的为曲线向曲线任一点Mx)有向弧段M的0值称弧s的等于这长有段MM的方向与的向0内蒙古财大学统计与学教室MNMNMNMNMN|0dsMNMNMNMNMN|0ds高等数学教案

§3

中值定理导数的应用致时反时然M是的函数且(是的单调增函面0来求(的数及分设为a内个邻近的