空间分布的测修改

空间分布的测度修改演示文稿2023/5/211目前一页\总数七十六页\编于十六点（优选）空间分布的测度修改2023/5/212目前二页\总数七十六页\编于十六点一空间分布的类型1.点状分布类型2.线状分布类型3.面状分布类型

城市河流行政区2023/5/213目前三页\总数七十六页\编于十六点2023/5/214目前四页\总数七十六页\编于十六点图地理事物的空间分布类型2023/5/215目前五页\总数七十六页\编于十六点二点状分布的测度（一）点状分布的测度方法

1.最邻近平均距离的测度

2.对中心位置的测度

3.离散程度的测度（二）中心位置及其测度

1.中项中心

2.平均中心2023/5/216目前六页\总数七十六页\编于十六点共有10个村庄，其位置见下表，试求其平均中心。地点12345678910X3.587.453.216.475.326.547.819.656.788.92Y6.896.414.234.586.312.976.357.435.984.47

2023/5/217目前七页\总数七十六页\编于十六点3、重心借鉴力学原理，可以引入区域重心的概念：假设某一个区域由几个小区单元构成，其中第个小区单元的中心坐标为（Xi，yi),Mi为该小区单元某种属性意义下的“重量”，则该属性意义下的区域重心的坐标为：显然，若属性值为各个小区单元的面积，则空间均值就是区域的几何中心。当某一空间现象的空间均值显著区别于区域几何中心，就指示了这一空间现象的不均衡分布，或称“重心偏离”。偏离方向指示了空间现象的“高密度”部位，偏离的距离则指示了均衡程度。

2023/5/218目前八页\总数七十六页\编于十六点山东省人口重心轨迹

山东省几何中心（118°9′E，36°14′N）

2023/5/219目前九页\总数七十六页\编于十六点山东省GDP重心轨迹

2023/5/2110目前十页\总数七十六页\编于十六点山东省一产重心轨迹

2023/5/2111目前十一页\总数七十六页\编于十六点山东省二产重心轨迹

2023/5/2112目前十二页\总数七十六页\编于十六点山东省三产重心轨迹

2023/5/2113目前十三页\总数七十六页\编于十六点山东省社会消费品重心轨迹

2023/5/2114目前十四页\总数七十六页\编于十六点以县市区为单元，利用Arcinfo求出每个单元的几何中心的横纵坐标，M分别为人口和GDP，分别求出1985年以来长江三角洲地区人口与GDP的重心，计算结果见图。长江三角洲地区人口、GDP经度变化情况2023/5/2115目前十五页\总数七十六页\编于十六点长江三角洲地区人口、GDP纬度变化情况2023/5/2116目前十六页\总数七十六页\编于十六点分别求出1949-2007年山东省人口、GDP的重心2023/5/2117目前十七页\总数七十六页\编于十六点三线状分布——地理网络分析网络分析，是运筹学的一个重要分支，它主要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问题。网络分析方法是计量地理学必不可少的重要方法之一。对于许多现实的地理问题，譬如，城镇体系问题、城市地域结构问题、交通问题、商业网点布局问题、物流问题、管道运输问题、供电与通讯线路问题等等，都可以运用网络分析方法进行研究。

2023/5/2118目前十八页\总数七十六页\编于十六点地理网络分析的主要内容（一）地理网络的图论描述

（二）最短路径与选址问题（三）最大流与最小费用流2023/5/2119目前十九页\总数七十六页\编于十六点(一)地理网络的图论描述1、地理网络的图论描述2、地理网络的测度2023/5/2120目前二十页\总数七十六页\编于十六点

通俗意义上的“图”，主要是指各种各样的地图、遥感影像图，或者是由各种符号、文字代表的示意图，或者是由各种地理数据绘制而成的曲线图、直方图等等。图论中的“图”，是一个数学概念，这种“图”能从数学本质上揭示地理实体与地理事物空间分布格局，地理要素之间的相互联系以及它们在地域空间上的运动形式、地理事件发生的先后顺序等。

2023/5/2121目前二十一页\总数七十六页\编于十六点

1）图：设V是一个由n个点vi(i=1，2，…，n)所组成的集合，即V={v1，v2，…，vn}，E是一个由m条线ei（i=1，2，…，m）所组成的集合，即E={e1，e2，…，em}，而且E中任意一条线，都是以V中的点为端点；任意两条线除了端点外没有其他的公共点。

1、地理网络的图论描述（1）图的定义那么，把V与E结合在一起就构成了一个图G，记作G＝（V，E）。2023/5/2122目前二十二页\总数七十六页\编于十六点

3）边：E中每一条线称为图G的边（或弧）；若一条边e连接u，v两个顶点，则记为e＝（u，v）。

2）顶点：V中的每一个点vi（i=1，2，…，n）称为图G的顶点。

4）在图G＝（V，E）中，V不允许是空集，但E可以是空集。

5）从以上定义可以看出，图包含两个方面的基本要素：点集（或称顶点集）；边集（或称弧集）。2023/5/2123目前二十三页\总数七十六页\编于十六点例：在如下图所示的图中，顶点集为

V＝｛v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8｝，边集为E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11}。2023/5/2124目前二十四页\总数七十六页\编于十六点

6）在现实地理系统中，对于地理位置、地理实体、地理区域以及它们之间的相互联系，可以经过一定的简化与抽象，将它们描述为图论意义下的地理网络，即图。地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等——点。它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技术流等——点与点的连线。一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河流——线，河流分岔或汇聚处——点，流域地貌系统——水系的基本结局（树）。

2023/5/2125目前二十五页\总数七十六页\编于十六点列昂纳德·欧拉——7桥问题

东普鲁士的哥尼斯堡城是建在两条河流的汇合处以及河中的两个小岛上的，共有7座小桥将两个小岛及小岛与城市的其他部分连接起来，那么，哥尼斯堡人从其住所出发，能否恰好只经过每座小桥一次而返回原处？图论研究结果告诉我们，其答案是否定的。2023/5/2126目前二十六页\总数七十六页\编于十六点现在问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔便将上面的图形画出来。2023/5/2127目前二十七页\总数七十六页\编于十六点一个图如果能够不重复地一笔画成，那么它必须有一个起点和一个终点。如果起点与终点是同一个点，那么从这点出发的路线条数与回来的路线条数是一样多的，而且这些通路又不能重复使用，因此与此点相连的通路有偶数条。同样，中间经过的点进去和出来的通路也应该是偶数条。具有这种性质的点，我们称为偶点。如果起点与终点不相同，按照上面的推理，知道连接这两个点的通路应该是奇数条。这样的点我们称为奇点。结论：如果一个图能不重复地一笔画而成，那么它必须具有的奇点数或者是0，或者是2．这是因为中间点都是偶点，只有起点和终点才可能是奇点。

2023/5/2128目前二十八页\总数七十六页\编于十六点

7）需要说明的是：图的定义只关注点之间是否连通，而不关注点之间的连结方式。对于任何一个图，他的画法并不唯一。

2023/5/2129目前二十九页\总数七十六页\编于十六点（2）图的一些相关概念

1）无向图与有向图：

无向图——图的每条边都没有给定方向，

即（u，v）＝（v，u）；

有向图——图的每条边都给定了方向，

即（u，v）≠（v，u）。

一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记为E。这样，G=（V，A）就表示有向图，而G=（V，E）则表示无向图。有向图2023/5/2130目前三十页\总数七十六页\编于十六点2）赋权图：如果图G＝（V，E）中的每一条边（vi，vj）都相应地赋有一个数值wij，则称G为赋权图，其中wij称为边（vi，vj）的权值。除了可以给图的边赋权外，也可以给图的顶点赋权。这就是说，对于图G中的每一顶点vj，也可以赋予一个载荷a(vj)。3）关联边：若e＝（u，v），则称u和v是边e的端点，e是u和v的关联边。4）连通图。在图G中，若任何两点之间至少存在一条路（对于有向图，则不考虑边的方向），则称G为连通图，否则称为不连通图。5）回路：若一条路的起点与终点相同，即vi1=vik，则称它为回路。6）基础图：从一个有向图D＝（V，A）中去掉所有边上的箭头所得到的无向图，就称为D的基础图，记之为G（D）。2023/5/2131目前三十一页\总数七十六页\编于十六点2、地理网络的测度

许多现实的地理问题，只要经过一定的简化和抽象，就可以将它们描述为图论意义下的地理网络，点和线的排布格局，并可以进一步定量化地测度它们的拓扑结构，以及连通性和复杂性。

树状型地理网络平面网络（二维的）非平面网络（非二维的）道路型环状型细胞型地理网络的拓扑分类图2023/5/2132目前三十二页\总数七十六页\编于十六点

目前关于地理网络的拓扑研究，最多、最常见的是基于平面图描述的二维平面网络。

所谓平面图，被规定为：各连线之间不能交叉，而且每一条连线除顶点以外，不能再有其他的公共点（牛文元，1987）。

以下的讨论，除非特别申明外，都限于二维平面网络。

2023/5/2133目前三十三页\总数七十六页\编于十六点（1）关联矩阵测度网络图中顶点与边的关联关系。

假设网络图G＝（V，E）的顶点集为V={v1，v2，…，vn}，边集为E={e1，e2，…，em}，则该网络图的关联矩阵就是一个n×m矩阵，可表示为式中：gij为顶点vi与边ej相关联的次数。2023/5/2134目前三十四页\总数七十六页\编于十六点v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7该图的关联矩阵为

例：

2023/5/2135目前三十五页\总数七十六页\编于十六点测度网络图中各顶点之间的连通性程度。

假设图G＝（V，E）的顶点集为V={v1，v2，…，vn}，则邻接矩阵是一个n阶方阵，可表示为式中：aij表示连接顶点vi与vj的边的数目。

（2）邻接矩阵2023/5/2136目前三十六页\总数七十六页\编于十六点该图的邻接矩阵为

v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7例：

2023/5/2137目前三十七页\总数七十六页\编于十六点（二）最短路径与选址问题

1、最短路径问题2、选址问题2023/5/2138目前三十八页\总数七十六页\编于十六点

对于许多地理问题，当它们被抽象为图论意义下的网络图时，问题的核心就变成了网络图上的优化计算问题。其中，最为常见的是关于路径和顶点的优选计算问题。在路径的优选计算问题中，最常见的是最短路径问题；而在顶点的优选计算问题中，最为常见的是中心点和中位点选址问题。

2023/5/2139目前三十九页\总数七十六页\编于十六点“纯距离”意义上的最短路径例如，需要运送一批物资从一个城市到另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？“经济距离”意义上的最短路径

例如，某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最廉价的货运线路是什么？1、最短路径问题（1）最短路径的含义2023/5/2140目前四十页\总数七十六页\编于十六点

“时间”意义上的最短路径

例如，某家经营公司有一批货物急需从一个城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路线最节省时间？

以上3类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图上的最短路径问题。

不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中边的权值。权——这种权值既可以代表“纯距离”，又可以代表“经济距离”，也可以代表“时间距离”。

2023/5/2141目前四十一页\总数七十六页\编于十六点（2）最短路径的算法标号法1959年E.W.Dijkstar提出的标号法是最短路径问题最好的求解方法。

标号法优点

不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，而且可以求出起点到其他任何一个顶点的最短路径及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最短路径问题。.2023/5/2142目前四十二页\总数七十六页\编于十六点标号法的基本思想

设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边，都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶点，确定为起点和终点，不妨设v1为起点，vk为终点。

首先从v1开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类型。其中，每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；P标号表示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。在最短路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点，先给它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改，将其变为P标号。那么，最多经过k-1步，就可以求得到从起点v1到每一个顶点的最短路径及其长度。2023/5/2143目前四十三页\总数七十六页\编于十六点标号法具体计算步骤

①如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样的点将其T标号修改为：min[T(vj)，P(vi)+wij]。②若G中没有T标号，则停止。否则，把点vj0

的T标号修改为P标号，然后再转入①。

其中，vj0满足

开始，先给v1标上P标号P(v1)＝0，其余各点标上T标号T(vj)＝+∞（j≠1）。2023/5/2144目前四十四页\总数七十六页\编于十六点例1：在图所示的赋权有向图中，每一个顶点vi（i=1，2，…，n）代表一个城镇；每一条边代表相应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求城镇v1到v7之间的最短路径。

赋权有向交通网络图2023/5/2145目前四十五页\总数七十六页\编于十六点解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1的最短路径为零。其他点(v2，v3，…，v7)标上T标号T(vj)＝+∞（j＝2，3，…，7）。第1步：①v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)∈E，而且v2，v3，v4是T标号，所以修改这3个点的T标号为

T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12]＝min[+∞，0+2]＝2

T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13]＝min[+∞，0+5]＝5

T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14]＝min[+∞，0+3]＝3②

在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于是令P(V2)＝2。2023/5/2146目前四十六页\总数七十六页\编于十六点第2步：①v2是刚得到P标号的点。因为(v2，v3)，(v2，v6)∈E，而且v3,v6是T标号，故修改v3和v6的T标号为

T(v3)＝min[T(v3)，P(v2)+w23]＝min[5，2+2]＝4

T(v6)＝min[T(v6)，P(v2)+w26]＝min[+∞，2+7]＝9

②在所有的T标号中，T(v4)＝3最小，于是令P(v4)＝3。2023/5/2147目前四十七页\总数七十六页\编于十六点第3步：①v4是刚得到P标号的点。因为(v4，v5)∈E，而且v5是T标号，故修改v5的T标号为

T(v5)＝min[T(v5)，P(v4)+w45]＝min[+∞，3+5]＝8

②在所有的T标号中，T(v3)＝4最小，故令P(v3)＝4。2023/5/2148目前四十八页\总数七十六页\编于十六点第4步：①v3是刚得到P标号的点。因为(v3，v5)，(v3，v6)∈E，而且v5和v6为T标号，故修改v5和v6的T标号为

T(v5)＝min[T(v5)，P(v3)+w35]＝min[8，4+3]＝7

T(v6)＝min[T(v6)，P(v3)+w36]＝min［9，4+5]＝9

②

在所有的T标号中，T(v5)＝7最小，故令P(v5)＝7。

2023/5/2149目前四十九页\总数七十六页\编于十六点第5步：①

v5是刚得到P标号的点。因为(v5，v6)，(v5

，v7)∈E，而且v6和v7都是T标号，故修改它们的T标号为

T(v6)＝min[T(v6)，P(v5)+w56]＝min[9，7+1]=8

T(v7)＝min[T(v7)，P(v5)+w57]＝min[+∞，7+7]=14

②

在所有T标号中，T(v6)＝8最小，于是令：P(v6)＝8。2023/5/2150目前五十页\总数七十六页\编于十六点第6步：①v6是刚得到P标号的点。因为(v6，v7)∈E，而且v7为T标号，故修改它的T标号为

T(v7)＝min[T(v7)，P(v6)+w67]＝min[14，8+5]=13

②目前只有v7是T标号，故令：P(v7)＝13。从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1，v2，v3，v5，v6，v7)，最短路径长度为13。2023/5/2151目前五十一页\总数七十六页\编于十六点2、选址问题

选址问题，是现代地理学研究的主要问题之一。选址问题涉及人类生产、生活、文化、娱乐等各个方面。选址问题的数学模型取决于两个方面的条件：可供选址的范围、条件；怎样判定选址的质量。本节的讨论仅限于选址的范围是一个地理网络，而且选址位置位于网络图的某一个或几个顶点上。

对这样的选址问题，根据其选址的质量判据，可以将其归纳为求网络图的中心点与中位点两类问题。

2023/5/2152目前五十二页\总数七十六页\编于十六点（1）中心点选址问题

例：某县要在其所辖的6个乡镇之一修建一个消防站，为6个乡镇服务，要求消防站至最远乡镇的距离达到最小。

中心点选址问题的质量判据

使最佳选址位置所在的顶点的最大服务距离为最小。中心点选址问题适宜于医院、消防站点等一类服务设施的布局问题。2023/5/2153目前五十三页\总数七十六页\编于十六点

设G＝（V，E）是一个无向简单连通赋权图，连接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每一个顶点vi，它与各个顶点之间的最短路径长度为di1，di2，…，din。这些距离中的最大数称为顶点vi的最大服务距离，记为e(vi)。

那么，中心点选址问题，就是求网络图G的中心点Vi0，使得中心点选址问题的数学描述

2023/5/2154目前五十四页\总数七十六页\编于十六点例2：假设某县下属的6个乡镇及其之间公路联系如图所示。每一顶点代表一个乡镇；每一条边代表连接两个乡镇之间的公路，每一条边旁的数字代表该条公路的长度。现在要设立一个消防站，为全县的6个乡镇服务。试问该消防站应该设在哪一个乡镇（顶点）？

2023/5/2155目前五十五页\总数七十六页\编于十六点解：第1步：用标号法求出每一个顶点vi至其他各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j

＝1，2，…，6），并将它们写成如下的距离矩阵2023/5/2156目前五十六页\总数七十六页\编于十六点

第2步：求每一个顶点的最大服务距离。显然，它们分别是矩阵D中各行的最大值，即：e(v1)＝6，e(v2)＝7，e(v3)＝6，e(v4)＝7，e(v5)＝6，e(v6)＝7。

第3步：判定。因为e(v1)＝e(v3)＝e(v5)＝min{e(vi)}＝6，所以v1，v3，v5都是中心点。也就是说，消防站设在v1，v3，v5中任何一个顶点上都是可行的。2023/5/2157目前五十七页\总数七十六页\编于十六点中位点选址问题的质量判据

使最佳选址位置所在的顶点到网络图中其他各个顶点的最短路径距离的总和（或者以各个顶点的载荷加权求和）达到最小。（2）中位点选址问题2023/5/2158目前五十八页\总数七十六页\编于十六点中位点选址问题的数学描述

设G＝（V，E）是一个简单连通赋权无向图，连接两个顶点的边的权值为该两顶点之间的距离；对于每一个顶点vi（i＝1，2，…，n），有一个正的负荷a(vi)，而且它与其他各顶点之间的最短路径长度为di1，di2，…，din。那么，中位点选址问题，就是求图G的中位点Vi0

，使得2023/5/2159目前五十九页\总数七十六页\编于十六点例3：某县下属7个乡镇，各乡镇所拥有的人口数a(vi)（i=1，2，…，7），以及各乡镇之间的距离wij（i，j=1，2，…，7）如图所示。现在需要设立一个中心邮局，为全县所辖的7个乡镇共同服务。问该中心邮局应该设在哪一个乡镇（顶点）？

2023/5/2160目前六十页\总数七十六页\编于十六点解：第1步：用标号法求出每一个顶点vi至其他各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j

＝1，2，…，7），并将其写成如下距离矩阵

2023/5/2161目前六十一页\总数七十六页\编于十六点第2步：以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权和

2023/5/2162目前六十二页\总数七十六页\编于十六点

第3步：判断。因为

所以，v3和v4都是图10.2.3的中位点。即：中心邮局设在点v3或点v4都是可行的。

2023/5/2163目前六十三页\总数七十六页\编于十六点四、面状分布的测度罗伦次曲线与集中化指数2023/5/2164目前六十四页\总数七十六页\编于十六点（一）罗伦次曲线（单因素）

20世纪初，意大利统计学家罗伦次（M.Lorenz），首先使用累计频率曲线研究工业化的集中化程度。后来，这种曲线就被称之为罗伦次曲线。

2023/5/2165目前六十五页\总数七十六页\编于十六点1.绘制罗伦次曲线实例

（1）将某地区各产业部门的收入及其占总收入比重表（百分比），从大到小重新排序；（2）从大到小，逐次计算累计百分；（3）以自然序号为横坐标(x)，累计百分比为纵坐标(y)；以（部门代码，累计百分比）为坐标点，连成一个上凸的曲线，即罗伦次曲线。2023/5/2166目前六十六页\总数七十六页\编于十六点某地区农户家庭经营性纯收入水平及其构成表2023/5/2167目前六