高三数学一轮复习基础夯实练18：导数的概念及其意义、导数的运算

基础夯实练18导数的概念及其意义、导数的运算1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为()A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－32．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin2x，则f′(0)等于()A．2B．1C．0D．－13．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝eq\f(1,2)x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．44．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为()A．－2B．2C．－eD．e5．已知函数f(x)＝alnx，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋eq\f(1,b)的最小值为()A．2B．2eC．e2D.eq\r(e)6．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是()A．g(x)＝x·2xB．g(x)＝－ex－2xC．g(x)＝lnxD．g(x)＝sinx＋2cosx7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝________.9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()A．－1B．－2C．1D．212．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型分式，比如：当x→0时，eq\f(ex－1,x)的极限即为eq\f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(ex－1,x)＝eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(ex－1′,x′)＝eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(ex,1)＝eq\o(lim,\s\do6(x→0))ex＝e0＝1，则eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(x2lnx,x2－1)＝.13．已知a，b为正实数，直线y＝x－eq\f(a,2)与曲线y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2)))相切，则eq\f(a2,4－b)的取值范围是()A．(－∞，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[1，＋∞) D．(0,1)14．设ai(i＝0,1,2，…，2022)是常数，对于∀x∈R，都有x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022·(x－1)(x－2)…(x－2022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝________.参考答案1．A2.A3.C4.B5.B6．ABC[对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln2，解得x＝eq\f(1,1－ln2)，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g′(x)＝eq\f(1,x)，根据y＝lnx和y＝eq\f(1,x)的图象可看出lnx＝eq\f(1,x)只有一个实数根，∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cosx－2sinx，由sinx＋2cosx＝cosx－2sinx，得3sinx＝－cosx，∴tanx＝－eq\f(1,3)，根据y＝tanx和y＝－eq\f(1,3)的图象可看出方程tanx＝－eq\f(1,3)有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．]7．lnx(答案不唯一)8.129．解(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，∴f′(e)＝－eq\f(1,e)，f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，∴f(e)＝－eq\f(2e,e)＋lne＝－1.(2)∵f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，f′(x)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,x)，∴f(e2)＝－eq\f(2e2,e)＋lne2＝2－2e，f′(e2)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,e2)，∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,e)＋\f(1,e2)))(x－e2)，即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.10．解(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3xeq\o\al(2,1)－1，又f(x1)＝xeq\o\al(3,1)－x1，所以切线方程为y－(xeq\o\al(3,1)－x1)＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).将y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)代入y＝x2＋a，得x2－(3xeq\o\al(2,1)－1)x＋a＋2xeq\o\al(3,1)＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3xeq\o\al(2,1)－1)2－4(a＋2xeq\o\al(3,1))＝0，整理，得4a＝9xeq\o\al(4,1)－8xeq\o\al(3,1)－6xeq\o\al(2,1)＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,3)，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，x(－∞，－eq\f(1,3))－eq\f(1,3)(－eq\f(1,3)，0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗由表知，当x＝－eq\f(1,3)时，h(x)取得极小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(20,27)，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．11．B[已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－x1＋，曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线方程为y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)x－1＋lnx2，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＝\f(1,x2)，,－x1＝－1＋lnx2，))解得x2＝，－x1＝－1＋lnx2＝－1＋＝－1－x1，则＝eq\f(x1＋1,x1－1)，又x2＝，所以x2＝eq\f(x1－1,x1＋1)，所以x2－1＝eq\f(x1－1,x1＋1)－1＝eq\f(－2,x1＋1)，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.]12.eq\f(1,2)解析eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(x2lnx,x2－1)＝eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(x2lnx′,x2－1′)＝eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\f(2xlnx＋x,2x)＝eq\o(lim,\s\do6(x→1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,2)))＝ln1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).13．D[函数y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2)))的导函数为y′＝eq\f(1,x＋\f(b,2))，令y′＝eq\f(1,x＋\f(b,2))＝1，解得x＝1－eq\f(b,2)，所以切点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,2)，0))，代入y＝x－eq\f(a,2)，得a＋b＝2，因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，则eq\f(a2,4－b)＝eq\f(a2,2＋a)，令g(a)＝eq\f(a2,2＋a)，a∈(0,2)，则g′(a)＝eq\f(aa＋4,2＋a2)>0，则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，所以eq\f(a2,4－b)∈(0,1)．]14．2021解析因为x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)，则令x＝1，可得a0＝1.对x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)两边求导可得2022x2021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2022[(x－1)(x－2)…(x－2022)]′，令fn(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，则fn′(x)＝(x－1