级上中卷含解答9学分

华东理工大学2013–2014学年第一学《高等数学(上)9》期中考试试卷解答一、填空题（448分1x,x1f(x)lnxx

则f(f(2)) 答：1ln3131ksinx答：-

13

则k 3、极限limn2(2n2n1) 3x3x23x2|x3x4xaf(x)答：-

x

的可去间断点，则a 151

x 216、极限lim(8n9n)n 7

sec24 e8y3

f(x)关于yx对称，且f(1)2，f'(2)3，则f'(1) 9、设yxx(sinx)cosx，则y'

xln

cosxlnsin

cos2(sin

10、曲线x33xyy330上点(1,1)处的切线方程 答y1

1tx1t11、设函数yy(x)由参数方程ytarctant确定则dx 12、设yarctan(xtanx)，则y' tanxxsec21x2tan2二、选择题（420分 2e

sinx,x1f(x)

|x

则 1e

xx0为f(x)的可去间断点 （B）x0为f(x)的跳跃间断点x0为f(x)的第二类间断点 （D）x0为f(x)的连续点数列{nsinn2

x0f(x)o(x2g(x)o(x3gxf(x)

xcosx

xlimcos x

0limcos x

0正确的共有几个？ （A）0（B）1（C）2（D）33、下列关于极限的等式正确的是

limxsin1

limxsin11 1

e

1

n4、设lima， n数列中满足an100数列中满足an100数列中满足0an100数列中满足|an|1005、当x0时，与sin(x2)为同阶无穷小的是 （A）100x2x （B）x2sin(x2)tanxsinx （D）20x2x82三、（8分）x11x2证明:(1)首先用数学归纳法证明1xn2n1

（n1,2,3,{xn22222222xk1

1xk1

2这就是说，当nk1综合（a）(b)知1xn2成立，也有数列{xn}有界 3再证明数列{xnn n n n n考虑 2x22xx2(2n n n n nn n n n并注意到1x2，有x 2x2(2x)(x1)0，n n n n2（1（2）2

2a ，解得a2或1，注意到1xn2a2n所以lima2 2n

f(x)四、（8分f(x

1cosx42x求

fx3

f(x)

1cosx40，因此分子极限limln(1

f

)0

2x

1cos

f(x)

为无穷小 2

f(x)

f4

1cosx

1cos

f

2x

x0exln2

x0(exln21)(1cos

f

2

f

4

xln22

ln2x0因此有

f(x)

22ln2 22五、（本题共8分）

gx)在R上有定义，且g(0)0

g'(0)0，又设 f(x)g(xsinxx0f'(0解f'(0)

xf(x)f(0)

f(x)

g(x)sin 3

x

而

g(x)

g(x)g(0)g'(0)0g(x)为无穷小，3

x

xg(x)sin由于sin1为有界量，因此 x0，也即f'(0)存在且为0。2 （8分）f(x在[abaf(x)b对于任意的xy[ab,有|f(xfy|k|xy|,这里0k1（1）（2）)（3）x1[a,b]，xn1

f(x，证明数列{x收敛，且

xn证明（1）xxxab，则有0|f(xf(xx|k|x|，令x0由定理知lim[f(x)f(xx)]0

f(xx)

f(x

f在(abxa或b，则考虑单侧极限，类似可得其连续性。因此（1）2（2）设g(x)

f(x)

，则g(x)在

上连续，且g(a)

f(a)a0g(b)f(b)b0，由零值定理知，存在[a,b]，使得f() 2若存1[a,b，使f(11|1||f(f(1|k|1|，即(1k)|1|0，于是有1，因此（2）成立 1考虑|xn||f(xn1f(|k