课件概率论chapter第五章大数定律和中心极限定理

1、中心极限定理的定2、列维 中心极限定 斯中心极限定4、小结、思5.2

Probability一、中心极限 量X~N(0,1)，{Xk}，k=1,2,…相互独立，且数学期望和方差都存在,若标准化随 nXkk1nn

E(XknknD(Xkk依分布收敛于X，则称 量序列{Xk}，k=服从中心极限定理5.2

Probability若 有

XkE(Xk k1 k

xnnn

(x

D(Xk k n即Xk的标准化 量的极限分布为标准正态分布nk5.2

Probability所以当n足够大时，可以认 X

E(XkD(XkkD(Xkkn

~N(0,1近似 X

~NE(Xk),D(Xk)k近似

k

k 5.2

Probability二.中心极限定设{Xk}，k=1,2…是一个相互独立、具有同分布的 量序列，且E(Xk)=，D(Xk)=2。则 量序列{Xk}满足中心极限定理，即 limPk xΦ(x)n .2

Probability’设{Xk}，k=1,2…是一个相互独立、具有同分布的 量序列，且E(Xk)=，D(Xk)=2。当n充分X 近似服从5.2

Probability独立同分布中心极限定n求 量之和S

Xi

取值已知S

Xnin

取值的概率，反求n5.2

Probability10s，假设每个产品需要重复检查的概率为05，求分析：问题等价检查员检查1900个产品所花的X不超过8hP{X8*3600则检查1900个产品所花的总时间 Xi显然X1,X2 X1900为相互独立的 量,5.2

Probability 第i个产品没有重复X i个产品需要重复检查一次；P(Xi10P(Xi200.5i即Xi相互独立都服从同iEX 100.5200.5iiiiDX EX2EX iiii1,2,..,由独立同分布中心极限 i

X

N

,

255.2

Probability所求PX 8

8***

*15

05.2

Probability例：在天平上重复独立称一重为a的物体，各次的结果Xi同服从正态分N(a，0.04），若以X表示n次称量结果的算术平均值，为PX n 0.1 0.问至少要称量多少解:由题X1X2Xn相互独立,且Xi～N(aEX DX 0. n由独立同分布中心极限n

i1,2 i

X

N ,0.04n由正态分布性5.2

Probability

0. Xnn

X

Na ni 由题P

n

0.1P0.1

na0.10

0 n0 n

n 0 nn2 n

0.95 n0n查表有n

因x单调不减

n至少要称16次才能满足要5.2

Probability2 中心极限定设 量序列{Yn}，Yn~B(n,p)，n=1,2…则对于任意的实数xlimP

Yn

x

Φ(

np(1 证明：对于任意正整数n， 量Yn可表示Yn=X1＋X2＋…＋X1X2Xn相互独立，Xi~B1,p)E(Xi)= ,D(Xi)=p(1- 量序列{Xi},i=1,2,…满足5.2

Probability5.2

Probability 中心极限定理，若X~B(n,p)，PmXm P m1

X

m2 np(1

np(1

np(1p)

m2

m1 np(1p) np(1p)5.2

Probability 中心极限定理的应1计算在大n2已知在大n情况下二项分布在某范围内，求该范围5.2

Probability 冲击，纵摇角大于3°的概率为p=1/3，若船舶 90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角假定船 波浪的各次冲击是独立的。记为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数，故X~B(90000,1 n90000 p 所 的概率P(29500X3050029500 X 30500npP np(1

np(1p)

np(1p)5.2

ProbabilityP(29500X30500因 30500np 29500np

Xnp(1p)np(1