教材解读人教八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解-人教版八年级数学上册完全平方公式

学习目标1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点）2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.回忆：多项式与多项式相乘的法则推进新课探究完全平方公式知识点1探究计算下列多项式的积.（1）（2）p2+1+2pp2+1-2p4m2+4+4m4m2+4-4m相乘的两个多项式有什么共同点？都是形如(a±b)2的多项式相乘.思考观察上面的结果，你发现了什么规律？（1）（2）p2+1+2pp2+1-2p4m2+4+4m4m2+4-4m

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.你能将上面发现的规律推导出来吗？

(a-b)2=a2-ab-ab+b2=a2+b2-2ab

(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+b2+2ab一般地,我们有即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.公式的特点：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21.积为二次三项式；2.其中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．验证验证如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；长方形DCGE与长方形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a•b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a-b)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．例1运用完全平方公式计算:(1)(4m+n)2;(2)(y-)2.解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2•(4m)•n+n2=16m2+8mn+n2;(2)(y-)2=y2-2•y•+()2

=y2-y+例题利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.针对训练(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；例2运用完全平方公式计算:(1)1022;(2)992.解:(1)1022=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

=10000+400+4=10404.(2)992=(100-1)2=1002-2×100×

1+12

=10000-200+1=9801.例题利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.针对训练＝(2016－2015)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152思考（1）与

相等吗？

（2）与

相等吗？（3）与

相等吗？为什么？（1）（2）相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.（3）不相等.因为前者是完全平方，后者是平方差.三、小结回顾1.完全平方公式的内容是什么？2.请同学们总结完全平方公式的结构特征。公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b23.我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他式子，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式1.若x+y=3,xy=1,则【解析】

答案：72.化简（x+1)2+2(1-x)-x2.【解析】原式=x2+2x+1+2-2x-x2=3.3.计算：(1)(x+2y)2.(2)(a+b+c)2.(1)原式=(x+2y)(x+2y)=x2+2×x×

2y+