中值定理证明方法总结

第5讲

中值定理研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理推广§5微分中值定理的应用与技巧5．1基本概念、内容、定理、公式2021/5/91一、罗尔(Rolle)定理机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理2021/5/92一、罗尔(Rolle)定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束2021/5/93若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束2021/5/94使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束2021/5/95二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕2021/5/96三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束2021/5/97证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.2021/5/98罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理几个中值定理的关系2021/5/99证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如,证明拉格朗日定理:要构造满足罗尔定理条件的辅助函数.方法1.

直观分析由图可知,设辅助函数(C

为任意常数)2021/5/910方法2.

逆向分析要证即证原函数法辅助函数2021/5/911同样,

柯西中值定理要证即证原函数法设2021/5/912*中值定理的条件是充分的,但非必要.可适当减弱.因此例如,设在内可导,且则至少存在一点使证:

设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知,存在一点使即2021/5/913*中值定理的统一表达式设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使证:

按三阶行列式展开法有2021/5/914利用逆向思维设辅助函数显然F(x)

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且因此,由罗尔定理知至少存在一点使即2021/5/915说明设都在上连续,且在内可导,证明至少存在一点使若取即为罗尔定理;若取即为拉格朗日中值定理;若取即为柯西中值定理;(自己验证)2021/5/916中值定理的主要应用与解题方法

中值定理原函数的性质导函数的性质反映反映中值定理的主要应用(1)利用中值定理求极限(2)研究函数或导数的性质(3)证明恒等式(4)判定方程根的存在性和唯一性(5)证明有关中值问题的结论(6)证明不等式2021/5/917解题方法:从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定理及适当设辅助函数.(1)证明含一个中值的等式或证根的存在

,常用罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数.(2)若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理.注：（1）几个中值定理中最重要、最常用的是:罗尔中值定理。（2）应用中值定理的关键为：如何构造合适的辅助函数？（难点、重点）2021/5/918(3)若结论中含两个或两个以上中值

,必须多次使用中值定理.(4)若已知条件或结论中含高阶导数

,多考虑用泰勒公式

,有时也可考虑对导数用中值定理

.(5)若结论为恒等式,先证变式导数为0,再利用特殊点定常数.(6)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.2021/5/919构造辅助函数的方法(1)不定积分求积分常数法.2021/5/9202021/5/9212021/5/9222021/5/9232021/5/9242021/5/925例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束5.2.例题选讲2021/5/926例2.求证存在使设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束

辅助函数如何想出来的？2021/5/927例3.

设函数在内可导,且证明在证:

取点再取异于的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得(界于与之间)令则对任意即在内有界.内有界.2021/5/928例4.

设函数在上连续,在但当时内可导,且求证对任意自然数n,必有使分析:

在结论中换为得积分因所以证:

设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即

不定积分求积分常数法!2021/5/929例5.

设函数在上二阶可导,且证明至少存在一点使分析:在结论中将换为得积分证:

设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在使因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有

不定积分求积分常数法!2021/5/930例6.

设在上连续,在证明存在内可导,且使证:

方法1.因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立.在2021/5/931方法2.

令因此可考虑设辅助函数由于在上满足罗尔定理条件,故存在使由此可推得故所证结论成立.常数变易法2021/5/932*例7.

设在上连续,在证明存在内可导,且使证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定理条件,即证因此存在使2021/5/933再对转化为证在上用拉氏中值定理,则存在使因此2021/5/934*例8.

设在上连续,在试证对任意给定的正数内可导,且存在证:转化为证因即由连续函数定理可知,存在使使因此2021/5/935对分别在上用拉氏中值定理,得即2021/5/936例10.设至少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明机动目录上页下页返回结束2021/5/937例11.

试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:机动目录上页下页返回结束2021/5/938例11.

试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动目录上页下页返回结束2021/5/939例12.

当时,试证证:

设当时,在上满足拉氏中值定理条件,因此有解出,则时2021/5/940又因及在单调递增,于是

说明:

中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界.2021/5/941构造的辅助函数方法举例.

迫切问题：上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？

作业：将上面例子中所构造的辅助函数自己全部练习构造一遍！2021/5/942思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.