初中数学北师大八年级上册一次函数-一次函数与正比例函数-

学习目标1.掌握一次函数、正比例函数的概念.（重点）2.能根据实际问题求解函数表达式．（难点）回顾与思考

1.什么叫函数?

在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.2.函数有哪些表达方式?1.图象法、2.列表法3.解析式讲授新课一次函数与正比例函数一在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,下面我们一起来看一看。

(2)你能写出y与x之间的关系吗？(弹簧长度=原长度+增加的长度)y=0.5x+3

情景一：某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg,

2kg,

3kg,

4kg，5kg时的长度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5情景二：某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.每千米耗油量为

L

完成下表：汽车行使路程x/km050100150200300耗油量y/L油箱剩余油量z/L605448423624(2)你能写出y与x的关系吗?（耗油量=每千米耗油量x路程）y=0.12x(3)你能写出剩余油量z与x的关系吗?剩余油量=原有油量-耗油量z=－0.12x+600612182436上面的三个函数关系式:(1)y=0.5x+3(2)y=0.12x

(3)z=－0.12x+60

若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称

y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）注意*：1.k,b为常数，k≠0.

2.自变量x的指数是1下列关系式中，哪些是一次函数？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝kx+2解：(1)是一次函数，(2)不是一次函数，(3)是一次函数，(4)是一次函数，(5)不是一次函数，(6)不是一次函数练一练方法总结;判断一个函数是一次函数的条件：1.k,b为常数，k≠0.

2.自变量x的指数是1特别的1.一次函数的一般形式：2.特别的，当b=0时，y=kx

(k为常数，k≠0）

称y是x的正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数3.正比例函数：y=kx

(k为常数，k≠0）y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）注意*：1.k为常数，k≠0.

2.自变量x的指数是13.常数项b=0在上述题目中一定是正比例函数的是

。(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;

(6)y＝kx+2(3)

(4)

练一练判断一个函数是正比例函数的条件：1.k为常数，k≠0.

2.自变量x的指数是13.常数项b=0一次函数与正比列函数的区别与联系1.正比例函数是特殊的一次函数2一次函数不一定是正比例函数例1：已知函数y=(m-1)x｜m︱+1是一次函数，求m

典例精析解：根据题意，得∣m∣=1,解得m=±1，但m-1≠0,即m≠1,所以m=-1.例2.若函数y=(m+3)xm2-8是正比例函数，则m=

；解：根据题意，得m2-8=1,m+3≠0,解得m=±3，m≠-3,所以m=3.【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．变式训练(1)若+m是一次函数函数，则m=

；(2)若是正比例函数，则m=

；-2-1

m-2≠0，

|m|-1=1，∴m=-2.

m-1≠0，

m2-1=0，∴m=-1.

例3：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;路程=速度×时间解：由路程=速度×时间，得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.解：由圆的面积公式，得y=πx2,

y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.一次函数与实际问题解：这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,

y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x

h后这个水池有水y

m3.（现有水量=原水量+增加水量）1：大米单价2.2元/kg，当购买xkg时，花费y元，费用y(元)与x(kg)之间的关系式：

；y是x的

函数解：y=2.2x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.

解：这棵树每月长高2cm，x个月长高了2xcm，因而y=50+2x,当x=5时，y=60答：y=50+2x，5个月后树高60cm