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文档简介
圆的内接四边形1、如图(1),△ABC叫⊙O的_____三角形,⊙O叫△ABC的____圆。2、如上图(1),若弧BC的度数为1000,则∠BOC=_____,∠A=_____3、如图(2)四边形ABCD中,∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600,
则∠1=_____,∠B=_____.复习提问:AEDCBA21图1图2BCO内接外接100º50º120º60º
如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,那么
这个圆叫做这个四边形的外接圆。什么是圆内接四边形?这个四边形叫做圆内接四边形猜想:圆内接四边形的对角有什么关系呢?
证明猜想
思路:在一般的圆内接四边形中,如果把圆心O与一组对顶点A、C分别相连,能得到什么结果呢?
∴∠D+∠B=
∠D=,∠B=∵用几何画板来验证!ABCDO如果延长BC到E,那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢?∵∠DCE+∠BCD=180°又∠A+∠BCD=180°∴∠A=∠DCE我们把∠A叫做∠DCE的内对角。因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,CODBAECODBA1234如图:根据刚才的结论我们可以得到哪些角相等呢?∠2=______∠3=______∠4=______∠1=______∠BCD∠DAB∠ABC∠CDA
几何表达式:(如图)
∵四边形ABCD内接于⊙O∴
∠A+∠C=180°,∠B=∠1
DABC1EO
圆内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内对角.
1、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BAD=∠BCD=小试牛刀:50º130º2、如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCE=75º,则∠BOD=150ºABCDOEABCDO例1:如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1
交于点C,与⊙O2
交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1
交于点E,与⊙O2
交于点F。求证:CE∥DF12OOFABECD变式练习1
:如图,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,过A点的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D,过B点的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F。猜想:CE∥DF
仍然成立吗?EDCFABO1O2变式练习2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B,过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C、E,交⊙O2于D、F,且CD∥EF。CEABDFO1O2
求证:CE=DF假设:四边形ABCD中,∠B+∠D=180°求证:A,B,C,D在同一圆周上(简称四点共圆).CABDEOABCDEO证明:(1)如果点D在⊙O外部。则(1)(2)∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°得∠D=∠AEC与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180°∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。综上所述,点D只能在圆周上,四点共圆。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法,这种思想叫做分类思想。推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么它的四个顶点共圆.DABCE例2如图,CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.求证:A,B,P,Q四点共圆AFBPQC证明:连接PQ。在四边形QFPC中,∵FP⊥BCFQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90º.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆考考你:1.AD,BE是△ABC的两条高,求证:∠CED=∠ABC.2.求证:对角线互相垂直的四边形中,各边中点在同一个圆周上。CABEDo3.如图,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证:∠CFG=∠DGF.ABEFGDC思维桑拓展:1、圆般内接尽平行碌四边翅形一笼定是呀形伞。2、圆廊内接府梯形构一定拦是砖形寸。3、圆层内接搁菱形燥一定占是央形东。矩等腰趴梯正方你能安用今垒天学蛇的知罢识来义解释帆吗?例3.如图,球以锐乌角三唱角形AB克C的三调边为冻边向料外作蛮三个鞋等边傍三角练形AB踏D、BC此E、CA哪G.·O2A·O3CEBFO1·GD求证慌:△AB尚D、△BC喷E、△CA壤G的外她接圆默⊙O1、⊙O2、⊙O3交于摧一点性质箩定理1圆内捞接四舌边形业的对荒角互购补.性质亦定理2圆内大接四芽边形己的外拳角等泛于它虑的内却角的慨对角.圆内本接四声边形参判定粪定理河:如果赖一个狼四边滥形的槽对角眠互补,那么齿它的遵四个榜顶点灵共圆.推论司:如果恩四边暗形的症一个鹿外角农等于损它的陵内角醒的对衬角,绣那么巾它的与四个悬顶点咏共圆.【本节缸收获】课堂明小结:(炼你的卡收获抬)1、圆证内接闻四边障形的疼定义碧:3、解税题时荐应注夹意两预点:(1)注巴意观广察图虽形,浙分清径四边皂形的__贩__和它夸的__枣__躬_的位蓬置,楚不要乌受背哭景的桨干扰黄。(2)证辛题时舱,常蕉需添贪辅助拥线
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